Задача вроде и не сложная - но какая-то "накрученная".. Прежде, чем искать расстояние между скрещивающимися (укр.: мимобiжними ) прямыми BD и AB_1 - наверное, все-таки придется найти сначала координаты других вершин параллелепипеда ( которые не заданы..) - точку D и точку B_1 находить все равно придется..
(1) ABCD - параллелограмм, поэтому диагонали в точке пересечения делятся пополам (т.е. для AC и для BD середина отрезка - в одной и той же точке O):
x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = 2; y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3}{2}; z_O = \frac{z_A + z_C}{2} = 2
т.е. точка
O(2; \frac{3}{2}; 2) должна быть серединой и для отрезка BD, т.е.
x_O = \frac{x_B + x_D}{2}
, откуда
x_D = 2\cdot x_O - x_B = 4 - 1 = 3
, и так же
y_D = 2\cdot y_O - y_B = 3 - 1 = 2
, и
z_D = 2\cdot z_O - z_B = 4-(-1) = 5
. Т.е. точка D (3;2;5)
И точку
B_1 находим из того, что вектор
BB_1 должен быть равен вектору
AA_1:
AA_1 = {1; 2; -2}. Т.е. так же и BB_1 = {1;2;-2}, т.е.
x_{B1} -x_B = 1; x_{B1} = x_B + 1 = 2
y_{B1} -y_B = 2; y_{B1} = y_B + 2 = 3
и
z_{B1} -z_B = -2; z_{B1} = z_B - 2 = -3
Т.е. точка B1(2;3;-3)
(2) Если для двух скрещивающихся прямых известны их направляющие векторы
\vec{p} и
\vec{q} (здесь это векторы
\vec{p} = BD и
\vec{q} = AB_1, и известно по одной точке на каждой из этих двух прямых (например, точка A на
AB_1 и точка B на BD) - то можно найти расстояние между скрещивающимися как соответствующую высоту параллелепипеда, построенного на вектрах
\vec{p} = BD,
\vec{q} = AB_1 и AB ( т.е. третий вектор - соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой..)
{это будет НЕ тот параллелепипед, о котором говорилось в условии.. это уже другой параллелепипед, и можно считать, что про заданный
ABCDA_1B_1C_1D_1 "уже забыли", он уже не нужен..}
Координаты векторов:
\vec{p} = BD = {2; 1; 6}, \vec{q} = AB_1 ={0; 3; -6}, AB = {-1; 1; -4}
Объем параллелепипеда, построенного на векторах
p = BD, q = AB_1 и AB -- равен модулю смешанного произведения этих векторов. Т.е. находим определитель, в котором по строкам (или по столбцам) выписаны координаты этих векторов:
\left|\begin{array}{c}2 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & -6\\ -1 & 1& -4\end{array}\right|=-24+6+18+12=12
определитель = 12 ( и по модулю |12| = 12 ), и объем параллелепипеда ("нового" - на векторах BD,
AB_1 и AB):
V= 12
И чтобы высота такого параллелепипеда была расстоянием между прямыми BD и
AB_1 - проводим эту высоту к "основанию", образованному векторами, равными этим же векторам BD и
AB_1). Т.е. площадь основания (площадь параллелограмма) - численно равна длине (модулю) вектора, равного векторному произведению векторов BD и
AB_1. Если составить вектор, равный векторному произведению - получим вектор
\vec{N} = [BD; AB_1] = {-24; 12; 6} = 6\cdot {-4; 2; 1}. Его длина (модуль):
|N| = 6\cdot \sqrt{21}, т.е. и площадь параллелограмма, построенного на векторах
\vec{BD} и
\vec{AB_1}: S = 6\cdot \sqrt{21} И тогда высота параллелепипеда ( которая и будет равна расстоянию между скрещивающимися):
h = \frac{V}{S} = \frac {12}{6\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}}
(Это ответ)
---------------------------------------------------------------------
Можно было выкрутиться немного иначе.. Расстояние от
AB_1 до BD равно расстоянию от прямой
AB_1 до плоскости, которая была бы параллельна
AB_1 и проходила бы через прямую BD. Т.е это плоскость
BDC_1 - параллельна
AB_1, и проходит через BD. ( И найти надо расстояние от
AB_1 до плоскости
BDC_1 - а так как
AB_1 || (BDC_1), то можно брать расстояние от любой точки на прямой
AB_1 (например, от точки A) до плоскости
BDC_1).
Т.е. можно найти уравнение плоскости
BDC_1 (только для этого сначала придется найти координаты точки
C_1), и использовать "готовую" формулу для расстояния от точки до плоскости.
{Т.е. при такой записи решения надо с самого начала находить точки D и
С_1 ( и можно не находить точку
B_1)}
Точку
C_1 находим из того, что вектор
\vec{CC_1} должен быть равен вектору
\vec{AA_1} -- получаем
C_1 (3; 5; -1).
Уравнение плоскости BDC_1 находим по вектору нормали и точке -- т.е. сначала находим векторное произведение векторов BD и BC_1 - которое будет вектором нормали к плоскости, и потом составляем уравнение плоскости, подставив любую из точек B или D, или
C_1. Ур-ие плоскости будет:
4x - 2y - z -3 = 0
(если нигде не наврала.. (хотя вроде похоже на правду)). И расстояние от точки A ( 2;0;3) до этой плоскости будет:
h = \frac{4\cdot 2 - 2\cdot 0 - 3 - 3}{\sqrt{16 + 4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{21}}