Задача вроде и не сложная - но какая-то "накрученная".. Прежде, чем искать расстояние между скрещивающимися (укр.: мимобiжними ) прямыми \(BD\) и \(AB_1\) - наверное, все-таки придется найти сначала координаты других вершин параллелепипеда ( которые не заданы..) - точку D и точку \(B_1\) находить все равно придется..
(1) ABCD - параллелограмм, поэтому диагонали в точке пересечения делятся пополам (т.е. для AC и для BD середина отрезка - в одной и той же точке O):
$$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = 2; y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3}{2}; z_O = \frac{z_A + z_C}{2} = 2$$
т.е. точка \(O(2; \frac{3}{2}; 2)\) должна быть серединой и для отрезка BD, т.е.
$$x_O = \frac{x_B + x_D}{2}$$, откуда $$x_D = 2\cdot x_O - x_B = 4 - 1 = 3$$, и так же $$y_D = 2\cdot y_O - y_B = 3 - 1 = 2$$, и $$z_D = 2\cdot z_O - z_B = 4-(-1) = 5$$. Т.е. точка D (3;2;5)
И точку \(B_1\) находим из того, что вектор \(BB_1\) должен быть равен вектору \(AA_1\):
AA_1 = {1; 2; -2}. Т.е. так же и BB_1 = {1;2;-2}, т.е. $$x_{B1} -x_B = 1; x_{B1} = x_B + 1 = 2$$$$y_{B1} -y_B = 2; y_{B1} = y_B + 2 = 3$$ и $$z_{B1} -z_B = -2; z_{B1} = z_B - 2 = -3$$Т.е. точка B1(2;3;-3)
(2) Если для двух скрещивающихся прямых известны их направляющие векторы \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) (здесь это векторы \(\vec{p} = BD\) и \(\vec{q} = AB_1\), и известно по одной точке на каждой из этих двух прямых (например, точка A на \(AB_1\) и точка B на BD) - то можно найти расстояние между скрещивающимися как соответствующую высоту параллелепипеда, построенного на вектрах \(\vec{p} = BD\), \(\vec{q} = AB_1\) и AB ( т.е. третий вектор - соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой..)
{это будет НЕ тот параллелепипед, о котором говорилось в условии.. это уже другой параллелепипед, и можно считать, что про заданный \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) "уже забыли", он уже не нужен..}
Координаты векторов: $$\vec{p} = BD = {2; 1; 6}, \vec{q} = AB_1 ={0; 3; -6}, AB = {-1; 1; -4}$$
Объем параллелепипеда, построенного на векторах \(p = BD, q = AB_1\) и AB -- равен модулю смешанного произведения этих векторов. Т.е. находим определитель, в котором по строкам (или по столбцам) выписаны координаты этих векторов: $$\left|\begin{array}{c}2 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & -6\\ -1 & 1& -4\end{array}\right|=-24+6+18+12=12$$
определитель = 12 ( и по модулю |12| = 12 ), и объем параллелепипеда ("нового" - на векторах BD, \(AB_1\) и AB): $$V= 12$$
И чтобы высота такого параллелепипеда была расстоянием между прямыми BD и \(AB_1\) - проводим эту высоту к "основанию", образованному векторами, равными этим же векторам BD и \(AB_1\)). Т.е. площадь основания (площадь параллелограмма) - численно равна длине (модулю) вектора, равного векторному произведению векторов BD и \(AB_1\). Если составить вектор, равный векторному произведению - получим вектор \(\vec{N} = [BD; AB_1] = {-24; 12; 6} = 6\cdot {-4; 2; 1}\). Его длина (модуль): \(|N| = 6\cdot \sqrt{21}\), т.е. и площадь параллелограмма, построенного на векторах \(\vec{BD}\) и \(\vec{AB_1}: S = 6\cdot \sqrt{21}\)
И тогда высота параллелепипеда ( которая и будет равна расстоянию между скрещивающимися):
$$h = \frac{V}{S} = \frac {12}{6\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}}$$ (Это ответ)
---------------------------------------------------------------------
Можно было выкрутиться немного иначе.. Расстояние от \(AB_1\) до BD равно расстоянию от прямой \(AB_1\) до плоскости, которая была бы параллельна \(AB_1\) и проходила бы через прямую BD. Т.е это плоскость \(BDC_1\) - параллельна \(AB_1\), и проходит через BD. ( И найти надо расстояние от \(AB_1\) до плоскости \(BDC_1\) - а так как \(AB_1 || (BDC_1)\), то можно брать расстояние от любой точки на прямой \(AB_1\) (например, от точки A) до плоскости \(BDC_1\)).
Т.е. можно найти уравнение плоскости \(BDC_1\) (только для этого сначала придется найти координаты точки \(C_1\)), и использовать "готовую" формулу для расстояния от точки до плоскости.
{Т.е. при такой записи решения надо с самого начала находить точки D и \(С_1\) ( и можно не находить точку \(B_1)\)}
Точку \(C_1\) находим из того, что вектор \(\vec{CC_1}\) должен быть равен вектору \(\vec{AA_1}\) -- получаем \(C_1 (3; 5; -1)\).
Уравнение плоскости BDC_1 находим по вектору нормали и точке -- т.е. сначала находим векторное произведение векторов BD и BC_1 - которое будет вектором нормали к плоскости, и потом составляем уравнение плоскости, подставив любую из точек B или D, или \(C_1\). Ур-ие плоскости будет: $$4x - 2y - z -3 = 0$$ (если нигде не наврала.. (хотя вроде похоже на правду)). И расстояние от точки A ( 2;0;3) до этой плоскости будет: $$h = \frac{4\cdot 2 - 2\cdot 0 - 3 - 3}{\sqrt{16 + 4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{21}}$$
