Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

В параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1: A(2;0;3), B(1;1;-1), C(2;3;1), A_1(3;2;1). Найдите расст


0 Голосов
Валерія Дорош
Posted Ноябрь 5, 2013 by Валерія Дорошенко
Категория: Аналитическая геометрия
Всего просмотров: 4514

В параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1: A(2;0;3), B(1;1;-1), C(2;3;1), A_1(3;2;1). Найдите расстояние между прямыми BD и AB_1

Теги: расстояние между двумя прямыми, уравнение прямой

Лучший ответ


0 Голосов
Svetlana Mironova
Posted Ноябрь 5, 2013 by Svetlana Mironova

Задача вроде и не сложная - но какая-то "накрученная"..  Прежде, чем искать расстояние между скрещивающимися (укр.: мимобiжними ) прямыми BD и AB_1 - наверное, все-таки придется найти сначала координаты других вершин параллелепипеда ( которые не заданы..) - точку D и точку B_1 находить все равно придется..
(1) ABCD - параллелограмм, поэтому диагонали в точке пересечения делятся пополам (т.е. для AC и для BD середина отрезка - в одной и той же точке O):
x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = 2; y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3}{2}; z_O = \frac{z_A + z_C}{2} = 2


т.е. точка O(2; \frac{3}{2}; 2) должна быть серединой и для отрезка BD, т.е.
x_O = \frac{x_B + x_D}{2}
, откуда x_D = 2\cdot x_O - x_B = 4 - 1 = 3
, и так же y_D = 2\cdot y_O - y_B = 3 - 1 = 2
, и z_D = 2\cdot z_O - z_B = 4-(-1) = 5
. Т.е. точка D (3;2;5) 
И точку B_1 находим из того, что вектор BB_1 должен быть равен вектору AA_1:
AA_1 = {1; 2; -2}. Т.е. так же и BB_1 = {1;2;-2}, т.е. x_{B1} -x_B = 1; x_{B1} = x_B + 1 = 2
y_{B1} -y_B = 2; y_{B1} = y_B + 2 = 3
и z_{B1} -z_B = -2;  z_{B1} = z_B - 2  = -3
Т.е. точка B1(2;3;-3)
(2) Если для двух скрещивающихся прямых известны их направляющие векторы \vec{p} и \vec{q} (здесь это векторы \vec{p} = BD и \vec{q} = AB_1, и известно по одной точке на каждой из этих двух прямых (например, точка A на AB_1 и точка B на BD) - то можно найти расстояние между скрещивающимися как соответствующую высоту параллелепипеда, построенного на вектрах \vec{p} = BD, \vec{q} = AB_1 и AB ( т.е. третий вектор - соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой..) 
{это будет НЕ тот параллелепипед, о котором говорилось в условии.. это уже другой параллелепипед, и можно считать, что про заданный ABCDA_1B_1C_1D_1 "уже забыли", он уже не нужен..}
Координаты векторов: \vec{p} = BD = {2; 1; 6}, \vec{q} = AB_1 ={0; 3; -6}, AB = {-1; 1; -4}

Объем параллелепипеда, построенного на векторах p = BD, q = AB_1 и AB -- равен модулю смешанного произведения этих векторов. Т.е. находим определитель, в котором по строкам (или по столбцам) выписаны координаты этих векторов: \left|\begin{array}{c}2 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & -6\\ -1 & 1& -4\end{array}\right|=-24+6+18+12=12

определитель = 12 ( и по модулю |12| = 12 ), и объем параллелепипеда ("нового" - на векторах BD, AB_1 и AB): V= 12

И чтобы высота такого параллелепипеда была расстоянием между прямыми BD и AB_1 - проводим эту высоту к "основанию", образованному векторами, равными этим же векторам BD и AB_1). Т.е. площадь основания (площадь параллелограмма) - численно равна длине (модулю) вектора, равного векторному произведению векторов BD и AB_1. Если составить вектор, равный векторному произведению - получим вектор \vec{N} = [BD; AB_1] = {-24; 12; 6} = 6\cdot {-4; 2; 1}. Его длина (модуль): |N| = 6\cdot \sqrt{21}, т.е. и площадь параллелограмма, построенного на векторах \vec{BD} и \vec{AB_1}: S = 6\cdot \sqrt{21} 
И тогда высота параллелепипеда ( которая и будет равна расстоянию между скрещивающимися):
h = \frac{V}{S} = \frac {12}{6\sqrt{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}}
(Это ответ)
---------------------------------------------------------------------
Можно было выкрутиться немного иначе.. Расстояние от AB_1 до BD  равно расстоянию от прямой AB_1 до плоскости, которая была бы параллельна AB_1 и проходила бы через прямую BD. Т.е это плоскость BDC_1 - параллельна AB_1, и проходит через BD. ( И найти надо расстояние от AB_1 до плоскости BDC_1 - а так как AB_1 || (BDC_1), то можно брать расстояние от любой точки на прямой AB_1 (например, от точки A) до плоскости BDC_1).
Т.е. можно найти уравнение плоскости BDC_1 (только для этого сначала придется найти координаты точки C_1), и использовать "готовую" формулу для расстояния от точки до плоскости.
{Т.е. при такой записи решения надо с самого начала находить точки D и С_1 ( и можно не находить точку B_1)}
Точку C_1 находим из того, что вектор \vec{CC_1} должен быть равен вектору \vec{AA_1} -- получаем C_1 (3; 5; -1).
Уравнение плоскости BDC_1 находим по вектору нормали и точке -- т.е. сначала находим векторное произведение векторов BD и BC_1 - которое будет вектором нормали к плоскости, и потом составляем уравнение плоскости, подставив любую из точек B или D, или C_1. Ур-ие плоскости будет: 4x - 2y - z -3 = 0
(если нигде не наврала.. (хотя вроде похоже на правду)). И расстояние от точки A ( 2;0;3) до этой плоскости будет: h = \frac{4\cdot 2 - 2\cdot 0 - 3 - 3}{\sqrt{16 + 4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{21}}