Спасибо Светлане за решение. Для тех, кто изучает ДУ я доведу это решение до ответа в задачнике Филиппова.
Решаем полученное неоднородное линейное дифференциальное уравнение $$\frac{dx}{dy} = \frac{2x}{y} + \frac{y^3}{e^y} \quad (1)$$ методом вариации произвольной постоянной:
1. приравняем к 0 член без y (у нас линейное уравнение относительно y), т.е. приведем его к однородному
$$\frac{dx}{dy} - x\cdot \frac{2}{y} =0 => \frac{dx}{dy} = x\cdot \frac{2}{y}$$ решаем однородное уравнение методом разделения переменных $$ \frac{dx}{dy} = x\cdot \frac{2}{y} => \frac{dx}{x} = \frac{2dy}{y}$$ интегрируем обе части дифференциального уравнения $$\int \frac{dx}{x} = \int \frac{2dy}{y} => \ln(x) = 2\ln(y) + \ln(C) =>$$потенцируем обе части уравнения $$x = y^2C$$
2. Полагаем, что C=C(y) - некоторая функция от переменной y, получаем $$x = y^2C(y) \quad (2)$$ Находим производную по y $$x' = (y^2C(y))' = 2y*C(y)+y^2C'(y)$$ и подставляем в (1)
$$2y*C(y)+y^2C'(y) = \frac{2y^2C(y)}{y} + \frac{y^3}{e^y} => $$если все сделано правильно, члены с C(y) должны сократиться $$y^2C'(y) = \frac{y^3}{e^y} =>$$ \(y \ne 0\)$$C'(y) = \frac{y}{e^y}$$интегрируем обе части, используем правило интегрирования сложной функции $$C(y) = -y*e^{-y} + \int e^{-y}dy = -y*e^{-y} - e^{-y} + C$$
3. Подставляем полученное значение C(y) в 2.
$$x = y^2(-y*e^{-y} - e^{-y} + C) = Сy^2 - y^2(y+1)e^{-y}$$Получили решение ДУ, теперь нужно еще подставить значение y=0 и проверить является ли оно решением. Вывод; является.
Ответ: $$x = Сy^2 - y^2(y+1)e^{-y}; \quad y = 0$$
