Доброго времени
(с местным редактором формул я еще не очень "подружилась" - поэтому пока не обещаю, что формулы будут читаться красиво.. =))
Это ур-ие 1-ого порядка, не разрешенное относительно производной (точнее, \(y '\) здесь явно выразить (через \(y\)) можно.. только ничего хорошего не получится =) будет что-то вроде \(y ' = +- \sqrt{\frac{\sqrt{4y^2 - 1} -1}{2}}\) - и оно не очень интегрируется..) Можно выкрутиться общим методом введения параметра (получить решение в виде параметрически заданной функции \(x = x(p) и y = y(p)\).
Так как выражено явно \(y\) через производную - то параметром \(p\) пусть будет производная: \(p = y '\) или \(p = \frac{dy}{dx}\). Т.е. уравнение: \(y =p*\sqrt{1+p^2}\)
Берем дифференциал от обеих частей этого равенства: \(dy = (p\cdot \sqrt{1+p^2})'*dp\) ;
Т.е. \(dy = (1*\sqrt{1+p^2} + p*\frac{p}{\sqrt{1+p^2}})*dp\) ;
или \(dy = \frac{1+ 2*p^2}{\sqrt{1+p^2}}*dp\) ;
Но еще: \(dy = p*dx\), т.е. уравнение: \(p*dx = \frac{1+ 2*p^2}{\sqrt{1+p^2}}*dp\).
При p НЕ равном нулю - на p можно разделить ( и проинтегрировать полученное уравнение):
\(\int dx = \int (\frac{1+2p^2}{p*\sqrt{1+p^2}})dp\) ;
Для интеграла справа - я бы сделала замену \(t = \sqrt {1+ p^2}\), тогда \(p = \sqrt{t^2 -1}\), и дифференциал \(dp = \frac{t}{\sqrt{t^2 -1}}*dt\) ; т.е. в интеграле получаем:
$$ \int \frac{1+2p^2}{p*\sqrt{1+p^2}}dp = \int \frac{1 + 2*( t^2 - 1 )}{\sqrt{t^2 -1}*t}*\frac{t}{\sqrt{t^2 -1}}dt = $$
$$=\int \frac{2t^2 - 1}{t^2-1}dt = \int ( 2 + \frac{1}{t^2 - 1})dt = $$
$$=\int ( 2 + \frac{1}{2}*( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} ))dt = \int ( 2 + \frac{1}{t^2 - 1})dt = 2t + \frac{1}{2}\ln\frac{t-1}{t+1} + C = $$
возвращаем \(t = \sqrt{1+p^2}\), т.е. будет:
$$= 2\sqrt{1 + p^2} + \frac{1}{2}\ln\frac{\sqrt{1+p^2} - 1}{\sqrt{1+p^2} +1} +C = $$
подгоняем под ответ из Филиппова =) - в аргументе логарифма домножаем на сопряженное, при чем на сопряженное к числителю:
$$= 2\sqrt{1 + p^2} + \frac{1}{2}\ln\frac{{1 + p^2 - 1}}{{(\sqrt{1+p^2}+1)^2}} + C = $$
"по свойствам логарифмов":
$$= 2\sqrt{1+p^2} + \ln|p| - \ln(\sqrt{1+p^2} + 1) + C $$
Т.е. получили: \(x (p) = 2\sqrt{1+p^2} + \ln|p| - \ln(\sqrt{1+p^2} + 1) + C\), и \(y = p*\sqrt{1+p^2}\) , где \(C - const\), и \(p\) - параметр ( решение в виде параметрически заданной функции)
Только всё это было "при p НЕ равном нулю" ( там, в середине решения была оговорка - когда делили на p) - и наверное, случай \(p = 0\) надо рассматривать отдельно - но если \(p = 0\) то и \(y =p*\sqrt{1+p^2} = 0\), а функция-константа \(y = 0\) - да, очевидно, что тоже является решением исходного уравнения. ( В задачнике в ответе она тоже добавлена =))
( Если почитать что-то похожее - то мне нравится: Самойленко, Кривошея, Перестюк. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи )
