Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение вида $$y'+p(x)y=q(x) \quad (1)$$
Приведем наше уравнение к общему виду неоднородного линейного дифференциального уравнения (1), для этого введем замену \(y^2=z => 2ydy=zdz\)$$y^2=(xyy'+1)\ln(x)=> z=(\frac{1}{2}xz'+1)\ln(x)=> $$$$ \frac{z}{\ln(x)}=\frac{1}{2}xz'+1=> z' - 2\frac{z}{x\ln(x)}=-\frac{2}{x} \quad (2)$$ Получили дифференциальное уравнение общего вида (1), теперь приступим к решению:
1. Решим однородное дифференциальное уравнение, полученное из неоднородного, приравняв к нулю член без y, получаем $$z' - 2\frac{z}{x\ln(x)}=0 =>z' = 2\frac{z}{x\ln(x)} => $$Решаем однородное дифференциальное уравнение методом разделения переменных (т.е.z - налево, x - направо) получаем $$\frac{dz}{dx} = 2\frac{z}{x\ln(x)} => \frac{dz}{z} = 2\frac{dx}{x\ln(x)}$$интегрируем обе части уравнения $$\int \frac{dz}{z} = 2\int \frac{dx}{x\ln(x)} =>\ln(z)=2\ln\ln(x)+C =>$$$$z=e^{2\ln\ln(x)+C} =>z=e^{\ln\ln^2(x)}*C_1$$Применяем основное логарифмическое тождество \(a^{\log_ab}=b\), получаем $$z=\ln^2(x)*C_1 \quad (3)$$
2. Предполагаем, что \(C_1=C(x)\), т.е. константу представляем как функцию от x, поэтому этот метод называется "методом вариации произвольной постоянной" и подставляем полученное значение \(z=\ln^2(x)*C(x)\) в (2), для этого предварительно найдем производную \(z'=(\ln^2(x)*C(x))'=2\frac{\ln(x)}{x}*C(x)+C'(x)*\ln^2(x)\), получаем $$z' - 2\frac{z}{x\ln(x)}=-\frac{2}{x} =>2\frac{\ln(x)}{x}*C(x)+C'(x)*\ln^2(x) - 2\frac{\ln^2(x)*C(x)}{x\ln(x)}=-\frac{2}{x} =>$$Члены, содержащие C(x), должны обязательно сократиться. Это дополнительный контроль правильности решения. $$2\frac{\ln(x)}{x}*C(x)+C'(x)*\ln^2(x) - 2\frac{\ln(x)*C(x)}{x}=-\frac{2}{x} =>C'(x)*\ln^2(x) -=-\frac{2}{x}$$Из полученного дифференциального уравнения найдем C(x) $$C'(x) -=-\frac{2}{x*\ln^2(x)}$$Интегрируем обе части уравнения $$\int C'(x)dx=-\int \frac{2}{x*\ln^2(x)}dx => C(x) = \frac{2}{\ln(x)} + C \quad (4)$$
3. Подставляем полученное решение (4) в (3). $$z=\ln^2(x)*(\frac{2}{\ln(x)} + C) => z=2\ln(x) + C\ln(x) $$
4. Применяем обратную замену \(y^2=z\) => $$ y^2 = 2\ln(x) + C\ln(x) $$
Ответ: \( y^2=2\ln(x) + C\ln(x) \)
