Найти предел числовой последовательности $$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\sin x)}{\sin 4x}$$

Найдем предел последовательности $\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\sin(x))}{\sin(4x)} = \frac{0}{0}$
Получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$, для разрешения этой неопределенности применим правило Лопиталя

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применяем правило $$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\sin(x))}{\sin(4x)} = \lim_{x \to 0}\frac{ \frac{ \cos(x)}{1+\sin(x)}}{4\cos(4x)} = \frac{1}{4}$$ Ответ: $\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+\sin(x))}{\sin(4x)} = \frac{1}{4}$