Решить тригонометрическое уравнение $$6\sin^2 x+\sin x*\cos x-\cos^2x=2$$

Приведем тригонометрическое уравнение к квадратному трехчлену и найдем его корни. Для этого перенесем 2 в левую часть и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ получим $$6\sin^2 x+\sin x*\cos x-\cos^2x - 2 =0 =>6\sin^2 x+\sin x*\cos x-\cos^2x - 2\sin^2x-2\cos^2x =0 =>$$$$4\sin^2 x+\sin x*\cos x -3\cos^2x =0 => \quad (1)$$Получили квадратный трехчлен. Приведем его к одной функции, для этого вынесем, например \(\cos^2x\) за скобки, получим $$\cos^2x(4tg^2 x+tg x -3) =0 =>$$Необходимо проверить, является ли \(\cos x = 0\) корнем уравнения. Для этого подставим \(\cos x = 0\) в уравнение (1) и получаем \(4\sin^2 x = 0\), т.е. косинус и синус одновременно должны быть равны 0, что не возможно, т.е.\(\cos x \ne 0\) . Отмечу также, что согласно ОДЗ тангенса \(\cos x \ne 0\), поэтому получаем $$4tg^2 x+tg x -3 =0$$ найдем корни квадратного трехчлена $$tg(x)_{1.2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+4*4*3}}{2*4}=\frac{1 \pm 7}{2*4}=> $$$$\left[\begin{array}{c}tg x =-1\\ tg x =\frac{3}{4}\end{array}\right.=>\left[\begin{array}{c}x =-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z\\ x =arctg(\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z\end{array}\right.$$

Полностью с Вами согласен, решение подправил, \(\cos x \ne 0 \) нужно было подставать в уравнение и убедиться, что это не корень, а потом, можно было упоминуть о нем в ОДЗ.

Доброго дня)
Извините, что пишу прямо здесь ( при попытке отправить сообщение - почему-то пишет "unable to send a private message.."). Решение - да, верное. Но придерутся к объяснению, почему имеем право "убрать" \(cos^2(x)\) (т.е. разделить на него). ОДЗ тангенса - "не то", потому что мы и тангенсы здесь сами придумали ( когда захотели вынести \(cos^2(x)\) ). Здесь имеем право разделить на этот \(cos^2(x)\) просто "потому что нам так хочется" - точнее, если делим на выражение с переменной - то сначала отдельно проверяем, может ли это выражение быть =0 (т.е. могут ли быть корнями те x, при которых это выражение = 0). Т.е. сначала отдельно рассматриваем случай \(cosx =0\), и убеждаемся, что тогда такие x ( при которых \(cos x=0\) ) все равно не будут корнями уравнения - так как подставив в уравнение "косинус = 0", получаем: \(4\sin^2(x) = 0\) - но синус и косинус одного и того же x не могут быть равны нулю одновременно. Т.е. дальше можем рассматривать те x, для которых \(cos x \ne 0\) - и поэтому на него можем делить..
P.S. sorry за "умничание".. просто если это сдавать в школе - придерутся точно.. ( а объяснят, к чему придрались,  или нет - ? )