Дополним уравнение второго порядка до полных квадратов по x и y. 4x^2-9y^2-16x-18y-29=0 => (4x^2-16x)-(9y^2+18y)-29=0
4(x^2-4x)-9(y^2+2y)-29=0 =>
4*(x^2-2*x*2+4-4)-9(y^2+2*y*1+1-1)-29=0 =>
4*((x-2)^2-4)-9((y+1)^2-1)-29=0=>
4(x-2)^2-16-9(y+1)^2+9-29 =0 =>4(x-2)^2-9(y+1)^2-36 =0
Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на него
4(x-2)^2-9(y+1)^2=36=> \frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y+1)^2}{4}=1
Получили уравнение гиперболы в каноническом виде
\frac{(x-2)^2}{3^2}-\frac{(y+1)^2}{2^2}=1
где
a=3 - действительная полуось, т.е. гипербола имеет точки пересечения с осью Ох. Проверяем, подставляем в уравнение
y=0, получаем точки пересечения с осью Ox
x=\pm\frac{3}{2}\sqrt5+2 => x_1 \approx -1.35; \quad x_2 \approx 5.35b=2 - мнимая полуось.
Центр гиперболы расположен в точке
O(2;-1).
Найдем уравнения асимптот гиперболы
\frac{x-x_0}{a} \pm \frac{y-y_0}{b} =0
Подставим значения полуосей, центра и получим
\frac{x-2}{3} \pm \frac{y+1}{2} =0 =>\left[\begin{array}{c}y= -\frac{2}{3}x+ \frac{1}{3}\\ y= \frac{2}{3}x- \frac{7}{3}\end{array}\right.
получили уравнения асимптот. Теперь можно и построить график гиперболы.
