Дано координати вершин трикутника: А (2;1); В(1;-1); С(-5;2)

с) уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно прямой AB
Схема нахождения:
если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Т.е. находим уравнение прямой AB, берем ее коэффициент и подставляем в уравнение прямой, проходящей через заданную точку (C), в заданном направлении (известен k).
Приступаем: уравнение прямой AB, проходящей через две заданные точки, это конечно А (2;1); В(1;-1) $$\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}$$ Подставляем, $$\frac{x-2}{1-2}=\frac{y-1}{-1-1} => y = 2x-3$$Угловой коэффициент получили \(k=2\). Теперь подставляем в уравнение прямой, проходящей через точку C в заданном направлении \(k\) и получаем искомую прямую$$y-y_c=k(x-x_c) =>y-2=2(x+5)=>y=2x+12$$
На рисунке приведены прямая AB \(y = 2x-3\) и прямая, параллельная ей, проходящая через точку С \(y=2x+12\)

в) Уравнение высоты треугольника, проходящую через вершину B.
Схема нахождения: высота из B перпендикулярна прямой AC и их угловые коэффициенты связаны соотношением \(k_1*k_2=-1\) поэтому найдем уравнение прямой AC и получим угловой коэффициент высоты их B. Уравнение прямой AC находим по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки A и C
$$\frac{x-x_A}{x_C-x_A}=\frac{y-y_A}{y_C-y_A}$$ Подставляем, $$\frac{x-2}{-5-2}=\frac{y-1}{2-1} => \frac{x-2}{-7}=y-1 =>y =-\frac{x}{7}+\frac{2}{7}$$ Угловой коэффициент высоты равен $$k*(-\frac{1}{7})=-1 =>k=7$$
Уравнение высоты из вершины B равно $$y-y_B=k(x-x_B) => y+1=7(x-1) =>y = 7x-8$$

д) уравнение медианы треугольника ABC, которая проходит через точку C.
Схема нахождения: для уравнения прямой медианы у нас есть точка C и вторая точка - середина стороны AB. Т.е. находим эту точку и подставляем в уравнение прямой, проходящую через две заданные точки
Приступаем: координаты точки середины отрезка AB, назовем ее M, рассчитываются по формуле полусуммы координат x и y, т.е. будут следующие \(M(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2})\) => \(M(\frac{2+1}{2};\frac{1-1}{2})\) => \(M(\frac{3}{2};0)\) , подставляем координаты двух точек в уравнение прямой, проходящей через две точки и получаем $$\frac{x+5}{\frac{3}{2}+5}=\frac{y-2}{0-2} =>y = -\frac{4}{13}x+\frac{6}{13}$$

е) длину высоты треугольника ABC, проведенной из вершины C.
Алгоритм решения: в данном случае у нас есть точка C и прямая AB. Уравнение этой прямой было получено в п. с \(y = 2x-3\). Осталось применить только формулу расстояния от  точки до прямой $$d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ где \((x_0;y_0)\) - координаты точки, расстояние от которой до прямой мы ищем, в нашем случае - т.C

Решение: рассмотрим уравнение прямой AB \(y = 2x-3\). Приведем его к общему виду \(y - 2x +3 =0\) и получим коэффициенты \(A=-2;B=1\). Подставляем, полученные данные в формулу расстояния от  точки до прямой $$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|-2(-5)+2+3|}{\sqrt{4+1}} =3\sqrt 5$$
Расстояние от точки до прямой \(d = 3\sqrt 5\)

ф) угол между прямой AB и прямой \(2х-3у=0\)
Алгоритм решения: угол между прямыми рассчитывается по формуле $$tg \phi = |\frac{k_2-k_1}{1-k_2*k_1}|$$
Решение: для нахождения угла нам необходимы угловые коэффициенты прямых. Есть уравнение прямой $$2x-3y=0=>y=\frac{2}{3}x$$ т.е. известен первый угловой коэффициент \(k_1=\frac{2}{3}\) и есть уравнение прямой AB \(y = 2x-3\) из которого получаем второй угловой коэффициент \(k_2=2\).
Подставляем значения угловых коэффициентов в формулу угла между этими прямыми $$tg \phi = |\frac{k_2-k_1}{1+k_2*k_1}| =|\frac{2-\frac{2}{3}}{1+2*\frac{2}{3}}| =>$$$$tg \phi= \frac{4}{7}$$