Приступаем к решению:
1. Найти математическое ожидание числа саженцев огурцов среди четырех выбранных.
Пусть случайной величиной будет X - количество саженцев огурца в выборке из 4-х.
Математическим ожиданием случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений. $$m_x = \sum_{i=1}^{\infty}x_ip_i$$ Для нахождения математического ожидания составим ряд распределения случайной величины X.
$$\begin{array}{|l|c|} \hline \\ x_i & 0 &1 & 2 & 3 & 4\\ \hline
\\ p_i &&&& \\ \hline \end{array}$$ где \(x_i\) - все возможные значения случайной величины, которая может принимать значения:
0 - нет ни одного саженца огурца
1 - выбран один саженец огурца из четырех.
2 - выбрано два саженца огурца из четырех
3 - выбрано три саженца огурца из четырех
4 - выбрано четыре саженца огурца из четырех
Теперь нужно рассчитать вероятность значений случайной величины:
1.1. Выбран один саженец огурца.
Введем обозначения: обозначим за событие A - взяли саженец огурца, а за событие B - взяли саженец помидора. Для нахождения вероятности будем использовать формулы суммы и произведения вероятностей. Далее я покажу, что использовать формулу Бернулли, в данном случае, нельзя.
Рассмотрим случаи:
Первым выбрали саженец огурца, а остальные помидоры, используя обозначения получим \(A_1B_2B_3B_4\).
Рассчитаем вероятность каждого события из этой последовательности. Вероятности будем считать по формуле классического определения вероятности. Для события \(A_1\), в данной последовательности событий \(P(A_1) = \frac{8}{18}\), для следующего события B число равновозможных случаев \(n = 18-1=17\), т.к. на один саженец забрали \(P(B_2) = \frac{10}{17}\). Для третьего события вероятность будет такой \(P(B_3) = \frac{m}{n}\), где уже m=10-1=9, общее количество саженцев еще уменьшилось n=17-1=16, получили \(P(B_3) = \frac{9}{16}\), ну и для последнего события получим \(P(B_4)=\frac{8}{15}\). Теперь найдем вероятность совместного наступления всех этих событий, она находится по формуле произведения вероятностей \(P(A_1B_2B_3B_4) = \frac{8}{18}*\frac{10}{17}*\frac{9}{16}*\frac{8}{15} = \frac{4}{3*17}\)
Саженец огурца выбрали вторым, а остальные помидоры, используя обозначения получим \(B_1A_2B_3B_4\).
Используем рассуждения п.1 и найдем вероятность последовательности событий \(P(B_1A_2B_3B_4) = \frac{10}{18}* \frac{8}{17}* \frac{9}{16}* \frac{8}{15}= \frac{8}{2*3*17}\). Получили вероятность равную вероятности в п.1 При рассмотрении оставшихся случаев, мы получим аналогичный ответ \(P(B_1B_2A_3B_4) = P(B_1B_2B_3AB_4) =\frac{4}{3*17}\)
И последнее, найдем вероятность случайной величины \(x_1\), т.е. выбрали только один саженец огурца из четырех, которая равна сумме всех вероятностей \(P(x_1) = P(A_1B_2B_3B_4) + P(B_1A_2B_3B_4) + P(B_1B_2A_3B_4)+ P(B_1B_2B_3AB_4) = 4 *\frac{4}{3*17} \)
Все что мы делалось в п.1 это меняли порядок следования событий, т.е. находили число сочетаний \(C_4^1=\frac{4!}{1!*(4-1)!} =4\). Т.е. чтобы найти вероятность случайной величины, нужно было число сочетаний умножить на вероятность одной последовательности событий. Так и будем делать далее. $$P(x_1) = C_4^1P(A_1B_2B_3B_4) =\frac{4!}{1!(4-1)!}\frac{8*10*9*8}{18*17*16*15}=4 *\frac{4}{3*17} = \frac{16}{3*17}$$
1.2. Выбрано два саженца огурца.
$$P(x_2) = C_4^2P(A_1A_2B_3B_4) = \frac{4!}{2!(4-2)!}\frac{8*7*10*9}{18*17*16*15}=\frac{7}{17}$$
1.3. Выбрано три саженца огурца.
$$P(x_2) = C_4^3P(A_1A_2A_3B_4) = \frac{4!}{3!(4-3)!}\frac{8*7*6*10}{18*17*16*15}=\frac{28}{9*17}$$
1.4. Выбрано четыре саженца огурца.
$$P(x_2) = C_4^4P(A_1A_2A_3A_4) = \frac{4!}{4!(4-4)!}\frac{8*7*6*5}{18*17*16*15}=\frac{7}{17*18}$$
1.0. Нет саженцев огурца.
$$P(x_0) = P(B_1B_2B_3B_4) = \frac{10*9*8*7}{18*17*16*15}=\frac{7}{2*3*17}$$
Получили ряд распределения случайной величины X.$$\begin{array}{|l|c|} \hline \\ x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline
\\ p_i &\frac{7}{2*3*17}&\frac{16}{3*17}&\frac{7}{17}&\frac{28}{9*17}&\frac{7}{17*18} \\ \hline \end{array}$$
Все полученные результаты подставляем в формулу математического ожидания $$m_x = 0*\frac{7}{2*3*17} + 1* \frac{16}{3*17}+2* \frac{7}{17}+3*\frac{28}{9*17}+4* \frac{7}{17*18}=1,778$$
Первый член суммы на математическое ожидание не влияет, т.к. он равен 0, он он влияет на дисперсию и среднеквадратическое отклонение, поэтому он присутствует в таблице ряда распределения случайной величины.
2. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение числа саженцев огурцов среди четырех выбранных.
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение - характеристики рассеивания случайной величины.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения величины от ее математического ожидания $$D_x=\sum_1^n (x_i-m_x)^*p_1$$ Все данные были получены выше, подставляем $$D_x = (0-1,778)^2*\frac{7}{2*3*17} +(1-1,778)^2*\frac{16}{3*17} + (2-1,778)^2*\frac{7}{17}+ (3-1,778)^2*\frac{28}{9*17}+(4-1,778)^2*\frac{7}{17*18} = 0.813$$
Среднеквадратическое отклонение
$$\sigma_x=\sqrt{D_x} = \sqrt{0.813} = 0.9$$
