Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Доведіть,що коли діагональ прямокутного паралелепіпеда з площинами його граней утворює кути α,β, γ


0 Голосов
Таня Безпалко
Posted Октябрь 13, 2013 by Таня Безпалко
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 3029

 Доведіть,що коли діагональ прямокутного паралелепіпеда з площинами його граней утворює кути   α,β, γ, то \(sin^2 \alpha+sin^2\beta+ sin^2\gamma=1\)


 


 

Теги: параллелепипед, свойство диагонали параллелепипеда

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Октябрь 13, 2013 by Вячеслав Моргун

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDEHGF (рис.). Обозначим стороны AB=a; DC=b; BF=c. Углы α,β, γ -  углы между диагональю AG=d и ее проекцией на грани ABCD - \(\alpha = \angle GAC\),  AEFB - \(\beta = \angle FAG \), AEHD - \( \gamma = \angle HAG\).


свойство диагонали параллелепипеда


Докажем следующее равенство $$\sin^2\alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 1 \quad$$


В задаче говорится о синуса в квадрате, поэтому целесообразно использовать в доказательстве теорему Пифагора.
Рассмотрим треугольник \(ΔGAC\). В этом треугольнике \(\sin \alpha = \frac{c}{d}\).
Рассмотрим треугольник \(ΔFAG\). В этом треугольнике \(\sin \beta = \frac{b}{d}\).
Рассмотрим треугольник \(ΔHAG\). В этом треугольнике \(\sin \gamma = \frac{a}{d}\).
В этих формулах присутствует d - длина диагонали. Найдем ее : из прямоугольного треугольника \(ΔABC\) по теореме Пифагора находим \(AC^2 = AB^2+BC^2 = a^2+b^2\). Из прямоугольного треугольника \(ΔGAC\) по теореме Пифагора находим \(AG^2 = AC^2 + CG^2 = a^2+b^2+c^2 => d^2 = a^2+b^2+c^2 \).


Подставим полученные данные в (2) $$\sin^2\alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = (\frac{c}{d})^2+(\frac{b}{d})^2+(\frac{a}{d})^2 = \frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1$$ Равенство доказано.