Дано точки А(8,1,-6), В(1,-3,4), С(-1,0,2). Знайти: 1.Рівняння прямої АВ 2. Рівняння площини,що

1.Рівняння прямої АВ
Т.е. необходимо найти уравнение прямой, проходящей через две точки A и B. Это уравнение имеет следующий вид $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$$ Подставляем известные координаты A(8;1;-6) и B(1;-3;4) и получаем $$\frac{x-8}{1-8} = \frac{y-1}{-3-1} = \frac{z-(-6)}{4-(-6)} =>-\frac{x-8}{7} = -\frac{y-1}{4} = \frac{z+6}{10}$$ Получили уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.

2. Рівняння площини,що проходитьчерез точку С перпендикулярну до АВ.
Как известно, уравнение плоскости, проходящей через заданную точку равно $$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) =0$$ где \((x_0;y_0;z_0)\) - координаты точки, через которую проходит плоскость, вектор с координатами \(N=(A;B;C)\) - вектор направленный перпендикулярно плоскости. В задаче известна прямая, перпендикулярная плоскости, поэтому вектор \(N\) будет иметь следующие координаты \(N = (-7;-4;10)\). Подставляем в уравнение плоскости с учетом координат точки С(-1,0,2) и получаем $$-7(x+1)-4(y-0) +10(z-2) =0 =>-7x-7-4y +10z-20 =0 =>$$$$ -7x-4y +10z-27 =0$$

3.Точку перетину прямої АВ і знайденої площини.
Приводим уравнение прямой к параметрическому виду $$-\frac{x-8}{7} = -\frac{y-1}{4} = \frac{z+6}{10} = t =>$$$$\begin{cases}-\frac{x-8}{7} =t\\ -\frac{y-1}{4} =t \\ \frac{z+6}{10} =t\end{cases}=>
\begin{cases}x =-7t +8\\ y =-4t+1 \\ z =10t-6\end{cases}$$ Подставляем в уравнение плоскости, полученные координаты
$$-7(-7t +8)-4(-4t+1) +10(10t-6)-27 =0 =>49t - 56 + 16t - 4 + 100t -60 - 27 = 0 =>$$$$165t = 147 => t = \frac{147}{165} = \frac{49}{55}$$ Подставляем полученное значение параметра в координаты и получим координаты точки пересечения. $$\begin{cases} x =-7t +8\\ y =-4t+1 \\ z =10t-6 \end{cases} => \begin{cases} x =-7*\frac{49}{55} +8\\ y =-4*\frac{49}{55}+1 \\ z =10*\frac{49}{55}-6\end{cases} => $$$$\begin{cases} x =\frac{440-343}{55}\\ y =\frac{55-196}{55} \\ z =\frac{490-330}{55} \end{cases} => \begin{cases} x =1\frac{42}{55}\\ y =-2\frac{31}{55} \\ z =2\frac{10}{11} \end{cases}$$ Ответ: координаты точки пересечения \((1\frac{42}{55}; -2\frac{31}{55}; 2\frac{10}{11})\)