Исследуем функцию \( y=\frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю. Найдем x при которых знаменатель равен нулю \(x+1 = 0 => x= -1\), т.е. Область определения $$D_f=(-\infty; -1) \cup (-1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = -1
исследуем точку x=-1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва,
справа $$ \lim_{x \to -1+0} \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}}= \frac{8*(-2)}{(-1+0 +1)^2} = -\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -1-0} \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}}= \frac{8*(-2)}{(-1-0 +1)^2} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( - \infty\).
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{8(-x-1)}{(-x+1)^{2}} \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} = 0 => x=1 \) Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (1;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox \(x = 1\) и одну точку разрыва \(x = -1\), т.е рассмотрим три интервала знакопостоянства. Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;-1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-8) = \frac{8(-9-1)}{(-9+1)^{2}} < 0\), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((-1; 1)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = \frac{8(0-1)}{(0+1)^{2}} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((1 ; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{8(2-1)}{(2+1)^{2}} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точка пересечения с осью Oy:
приравняем \(x=0\), получим \( y = \frac{8(0-1)}{(0+1)^{2}} = -8 => y= -8 \)
Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами (0;-8).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (\frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}})' = 8\frac{(x+1)^{2} - (x-1)*2(x+1)}{(x+1)^{4}} = $$$$ =8\frac{(x+1) - 2(x-1)}{(x+1)^{3}} = -8\frac{x-3}{(x+1)^{3}}$$ приравняем к 0 $$ -8\frac{x-3}{(x+1)^{3}} = 0 => x = 3 $$ функция имеет критическую (стационарную) точку x = 3, найдем значение функции в этой точке \(f(3)=\frac{8(3-1)}{(3+1)^{2}} = 1 \), получили координаты критической точки (3;1)
Функция имеет одну критическую точку \(x = 3\) и точку \(x = -1\), в которой производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-2) = -8\frac{-2-3}{(-2+1)^{3}} < 0\), т.е. на этом интервале функция убывает.
интервал \((-1; 3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = -8\frac{0-3}{(0+1)^{3}} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((3; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(5) = -8\frac{5-3}{(5+1)^{3}} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки \(x = 3\) получили: \( + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами (3;1)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (-8\frac{x-3}{(x+1)^{3}})' = -8\frac{(x+1)^{3} - (x-3)*3(x+1)^{2}}{(x+1)^{6}}=$$$$ =-8\frac{(x+1) - 3(x-3)}{(x+1)^{4}}=16\frac{x-5}{(x+1)^4}$$ Приравняем к нулю $$ 16\frac{x-5}{(x+1)^4} = 0 => x =5$$
На области определения \((-\infty; -1) \cup (-1;+\infty)\) функция имеет одну критическую точку второго рода ( точку возможного перегиба) \(x =5\).
Рассмотрим выпуклость функции в пределах рассматриваемых интервалов.
Точки \(x=5\) и точка разрыва \(x=-1\) делят ось на три интервала выпуклости
интервал \((-\infty; -1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-2) = 16\frac{-2-5}{(-2+1)^4} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-1; 5)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = 16\frac{0-5}{(0+1)^4} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((5; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(6) = 16\frac{6-5}{(6+1)^4} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
На области определения функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю - критическая точка второго рода ( точку возможного перегиба). Достаточным условием перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку
точка \(x =5\): \( - \quad 0 \quad +\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(5) = \frac{8(5-1)}{(5+1)^{2}} = \frac{8}{9}\).
Координаты точки перегиба \((5; \frac{8}{9})\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту \(x = -1\) (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у=\frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}}\) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$ находим его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. первый предел равен нулю, второй искать не нужно. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} = +0$$т.е. кривая приближается к асимптоте сверху$$\lim_{x \to - \infty} \frac{8(x-1)}{(x+1)^{2}} = -0$$т.е. кривая приближается к асимптоте снизу
График функции имеет горизонтальную асимптоту \(y = 0\)
9. График функции.
