Провести полное исследование функции и построить график. $$y=x*\ln^2(x)$$

Исследуем функцию $y =x*\ln^2(x)$ и построим ее график.

1. Область определения.
Областью определения функции будет область определения логарифма, т.е. $x > 0$ $D_f= (0; +\infty)$

2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на области определения точек разрыва не имеет.

3. Четность функции.
Проверяем на четность $f(-x) = -x*\ln^2(-x)$ функция является ни четной ни нечетной.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем $y=0$, получим $x*\ln^2(x)= 0 => x_1 = 0, x_2 = 1$ , получили одну точку пересечения с осью Ox, которая попадает в рассматриваемый интервал $(0; +\infty)$. Координаты точки пересечения с осью Ox $( 1; 0)$
Интервалы знакопостоянства функции. Получили два интервала знакопостоянства на области определения.
интервал $(0; 1)$ найдем значение функции в любой точке $f(0.5) =x*\ln^2(x)> 0$, на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$, т.е. функция находится выше оси Ox
интервал $( 1; +\infty)$ найдем значение функции в любой точке $f(2) =x*\ln^2(x)> 0$, на этом интервале функция положительная $f(x) > 0$, т.е. функция находится выше оси Ox

5. Точки пересечения с осью Oy: точка $x=0$ данная точка не попадает в область определения функции, т.е. точек пересечения осью Oy нет.

6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю

$$y' = (x*\ln^2(x))' = \ln^2(x) + 2x \ln(x)\frac{1}{x} =\ln(x)(\ln(x)+ 2)$$ приравняем к 0 $$\ln(x)(\ln(x)+ 2)= 0 => x_1 = 1; \quad x_2= e^{-2} \approx 0.135$$ В область определения попадают обе точки. Координаты стационарных точек $( 1; 0)$ и $(e^{-2}; 4e^{-2})$.

Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки на рассматриваемом интервале и делит его на три интервала монотонности.
интервал $(0; e^{-2})$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(0.1) = \ln(x)(\ln(x)+ 2)> 0$, на этом интервале функция возрастает.
интервал $(e^{-2};1)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(0.5) = \ln(x)(\ln(x)+ 2)< 0$, на этом интервале функция убывает.
интервал $(1; +\infty)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(2) = \ln(x)(\ln(x)+ 2)> 0$, на этом интервале функция возрастает.

Экстремумы функции.

Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
для $x =e^{-2}$: $\quad + \quad 0 \quad -$, т.е. функция имеет точку максимума с координатами $(e^{-2}; 4e^{-2})$
для $x =1$: $\quad - \quad 0 \quad +$, т.е.функция имеет точку минимума с координатами$(1 ;0)$

7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю

$$y'' = (\ln(x)(\ln(x)+ 2))'=\frac{1}{x}(\ln(x)+ 2) +\ln(x)\frac{1}{x}= \frac{2}{x}(\ln(x)+ 1)$$ Приравняем к нулю $$\frac{2}{x}(\ln(x)+ 1)= 0 => x= e^{-1} \approx 0.37$$

На рассматриваемом интервале $(0; +\infty)$ функция имеет одну критическую точку второго рода ( точку возможного перегиба). Рассмотрим выпуклость функции в пределах рассматриваемого интервала.

интервал $(0; e^{-1})$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(0.3) =\frac{2}{x}(\ln(x)+ 1)< 0$, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал $(e^{-1}; +\infty)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(3) =\frac{2}{x}(\ln(x)+ 1) > 0$, на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая).

Точки перегиба.

На рассматриваемом интервале функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю - критическая точка второго рода ( точку возможного перегиба). Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку
точка $x =e^{-1}$: $\quad - \quad 0 \quad +$ вторая производная знак поменяла. одну критическую точку второго рода ( точку возможного перегиба).

Координаты точек перегиба $(e^{-1};e^{-1})$

8. Асимптоты.

Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции $у=x*\ln^2(x)$ при $x \to \infty$ имел наклонную асимптота $y = kx+b$, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

$$\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x} =k$$ Находим предел $$\lim_{x \to +\infty}\frac{x*\ln^2(x)}{x} =\lim_{x \to +\infty}\ln^2(x)= \infty$$ получили $k= \infty$ график функции наклонной асимптоты не имеет.

Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел

$$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем предел $$\lim_{x \to \infty}x*\ln^2(x)= \infty$$ график функции горизонтальной асимптоты не имеет .

Вертикальная асимптота.
Рассмотрим поведение функции на границе области определения в рассматриваемом интервале в точке $x = 0$

$$\lim_{x \to 0+0}x*\ln^2(x)= 0*\infty$$ Применяем правило Лопиталя $$\lim_{x \to 0+0}x*\ln^2(x) =\lim_{x \to 0+0}\frac{1}{\frac{1}{x}}\ln^2(x) =$$ $$= \lim_{x \to 0+0} 2\ln(x)*\frac{1}{x}*(-x^2) = -\lim_{x \to 0+0} 2x\ln(x) =$$ повторно применяем правило $$= -\lim_{x \to 0+0} 2x\ln(x) =-2\lim_{x \to 0+0} \frac{1}{\frac{1}{x}}\ln(x) =-2\lim_{x \to 0+0} \frac{1}{x}*(-x^2)=0$$ в окрестности левой границы график функции стремится к $0$

9. График функции.
Построим график функции.