Доказательство методом математической индукции состоит из 3-х этапов. Рассмотрим их подробно: 1 -й этап. Проверяем истинность утверждения при \(n = 1\), т.к. это номер первого члена арифметической прогрессии. В нашем случае это должна быть сумма из одного члена \(S_1 = a_1\). Подставляем в нашу формулу \(n= 1\) и убедимся в этом $$S_1 =\frac{2a_1+d(1-1)}{2}*1 = \frac{2a_1+d*0}{2} = a_1$$Т.е. получили истинное равенство \(S_1 = a_1\). Для проверки можно подставить \(n=2\) и получить сумму первых двух членов арифметической прогрессии \(S_2 = a_1+a_2\), где \(a_2 = a_1+d =>\) \(S_2 = a_1 + a_1 + d = 2a_1 + d\). Подставляем \(n=2\) в формулу \(S_2 = \frac{2a_1 + d(2-1)}{2}*2 = 2a_1 + d\). Опять получили истинное равенство (так и должно было быть, мы же доказываем истинность для любого \(n\)). Теперь пора переходить ко второму этапу. 2 - й этап. Предположим (будем считать), что равенство истинно при \(n = n\), т.е. \(S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n\) - истинно. 3-й этап. Необходимо доказать истинность равенства при \(n = n+1\). Если мы докажем истинность этого равенства, то это будет означать истинность для любого \(n\). Подставим \(n = n+1\) в нашу формулу $$S_{n+1}=\frac{2a_1+d((n+1)-1)}{2}(n+1) = \frac{2a_1+dn}{2}(n+1)$$Суть доказательства состоит в том, что формулу суммы \(S_{n+1}\) члена арифметической прогрессии мы должны свести к формуле суммы \(S_n\) - членов арифметической прогрессии, которая у нас истинна. \(S_{n} = a_1+a_2+ ... +a_n\) прибавим и вычтем \(a_{n+1}\) член прогрессии, получим \(S_{n} = a_1+a_2+ ... +a_n + a_{n+1} - a_{n+1}\). Первые \(n+1\) члены это и будет \(S_{n+1}\), т.е. получаем \(S_n = S_{n+1} - a_{n+1}\) или \(S_{n+1} = S_{n} + a_{n+1}\). Я показал две эти формулы, чтобы было видно, что можно свести \(S_{n}\) к \(S_{n+1}\) и наоборот. Кому как проще. Для примера докажем оба равенства: Доказательство первого равенства $$S_n = S_{n+1} - a_{n+1} = \frac{2a_1+dn}{2}(n+1) - a_{n+1} = \quad (1) $$Вспомним формулу \(n\) - го члена арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + d(n-1)\), тогда \(n+1\) член будет равен \(a_{n+1} = a_1 + d*n\) подставляем в (1). $$ = \frac{2a_1+dn}{2}(n+1) - a_1 - dn = \frac{(2a_1+dn)*(n+1) - 2a_1 - 2dn}{2} =$$$$ = \frac{2a_1n+dn^2 + 2a_1+dn - 2a_1 - 2dn}{2}= \frac{2a_1n+dn^2 - dn}{2} =$$$$ = \frac{2a_1+dn - d}{2}n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}n$$что и требовалось доказать. Доказательство второго равенства $$S_{n+1} = S_{n} + a_{n+1} = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}n + a_{n+1} = \quad (2) $$Вспомним формулу \(n+1\) - го члена арифметической прогрессии \(a_{n+1} = a_1 + d*n\) подставляем в (2). $$ = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}n + a_1 + dn = \frac{(2a_1+d(n-1))n + 2a_1 + 2dn}{2} =$$$$ = \frac{2a_1n+dn^2-dn + 2a_1 + 2dn}{2} = \frac{2a_1(n+1)+dn(n+1)}{2} =$$$$ =\frac{2a_1+dn}{2}(n+1) $$что и требовалось доказать. Равенство доказано методом математической индукции.
