Исследуем функцию \( y=(\frac{x+1}{x-1})^2 \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \( x-1 \ne 0 => x \ne 1\). Область определения $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 1
исследуем точку x= 1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 1+0}(\frac{x+1}{x-1})^2 = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 1-0}(\frac{x^3}{1-x}) = +\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 1\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (\frac{-x+1}{-x-1})^2 \) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( (\frac{x+1}{x-1})^2 = 0 => x=-1 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox с координатами \((-1;0)\).
Интервалы знакопостоянства функции.
На рассматриваемых интервалах \( (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox , поэтому будем рассматривать на трех интервалах области определения.
Определим знак функции на интервалах области определения:
Четная степень функции указывает на то, что функция расположена выше оси Ox, поэтому зафиксируем этот факт
интервал \( (-\infty; -1) \) найдем значение функции в любой точке \( f( -4) = (\frac{x+1}{x-1})^2 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
интервал \( (-1; 1) \) найдем значение функции в любой точке \( f( 0) = (\frac{x+1}{x-1})^2 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
интервал \( (1;+\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = (\frac{x+1}{x-1})^2 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0 \), получаем \( f( 0) = (\frac{x+1}{x-1})^2 = 1\). Координаты точки пересечения с осью Oy \( (0; 1)\)
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$ y' = ( (\frac{x+1}{x-1})^2)' =2 \frac{x+1}{x-1}* \frac{x-1-(x+1)}{(x-1)^2} = -4 \frac{x+1}{(x-1)^3}$$ приравняем к 0 $$ -4 \frac{x+1}{(x-1)^3} = 0 => x = -1 $$ Найдем значение функции в этой точке \( f(-1) = 0\) . Получили одну критическую точку с координатами \((-1;0)\).
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку (точку возможного экстремума), поэтому монотонность будем рассматривать на трех интервалах:
интервал \( (-\infty; -1) \) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-4) = -4 \frac{x+1}{(x-1)^3} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((-1;1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = -4 \frac{x+1}{(x-1)^3} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(4) = -4 \frac{x+1}{(x-1)^3} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
При исследовании функции получили на интервале области определения одну критическую (стационарную) точку. Определим, являются ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку:
точка \(x = -1\) производная меняет знак с \( \quad -\quad 0 \quad + \quad\) - точка является точкой минимума.
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( -4 \frac{x+1}{(x-1)^3})'= -4\frac{(x-1)^3-3(x+1)(x-1)^2}{(x-1)^6} = $$ $$ = -4\frac{x-1-3x-3)}{(x-1)^4} = 8\frac{x+2)}{(x-1)^4} $$ Приравняем к нулю $$ 8\frac{x+2)}{(x-1)^4} = 0 => x+2 =0 => x = -2 $$ Найдем значение функции в этой точке \(f(-2) = (\frac{-2+1}{-2-1})^2 = \frac{1}{9}\). Функция имеет одну критическую точку второго рода с координатами \((-2; \frac{1}{9})\).
Определим выпуклость на интервалах области определения с учетом критической точки второго рода (точки возможного перегиба).
интервал \((-\infty; -2)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-3) = 8\frac{x+2)}{(x-1)^4} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-2; 1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = 8\frac{x+2)}{(x-1)^4} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((1; \infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(4) = 8\frac{x+2)}{(x-1)^4} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Рассмотрим изменение знака второй производной при переходе через критическую точку второго рода:
В точке \(x =-2\) вторая производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\), график функции меняет выпуклость, т.е. это точка перегиба с координатами \((-2; \frac{1}{9})\).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет одну вертикальную асимптоту \(x =1\) (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \( у= (\frac{x+1}{x-1})^2 \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}(\frac{x+1}{x-1})^2 = 0 => k= 0 $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$, т.к. \(k = 0\) - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to \infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}(\frac{x+1}{x-1})^2= 1$$$$ \lim_{x \to -\infty}(\frac{x+1}{x-1})^2 = 1$$
Горизонтальная асимптота \(y = 1\).
9. График функции.
