В задании произведение двух функций, поэтому будем применять формулу производной произведения $$(u*v)' = u'*v+u*v'$$Применяем формулу $$(\ln x^3*2^{\sqrt x})'= (\ln x^3)'*2^{\sqrt x}+\ln x^3*(2^{\sqrt x})' = \quad (1)$$Находим производные в каждом слагаемом:
1. \((\ln x^3)' \) Применяем формулу производной сложной функции \((u(v(x)))' = u'(v(x))*v'(x)\), где логарифм \(\ln\)- внешняя функция, а \(x^3\) - внутренняя функция. Получаем $$(\ln x^3)' = \frac{1}{x^3}*3x^2 = \frac{3}{x}$$
2. \((2^{\sqrt x})' \) Применяем формулу производной сложной функции \((u(v(x))) = u'(v(x))*v'(x)\), где \(2^{\sqrt x}\) - внешняя функция, а \(\sqrt x\) - внутренняя функция. Получаем $$(2^{\sqrt x})' = 2^{\sqrt x}*\ln 2*\frac{1}{2\sqrt x} $$Подставляем полученный результата в (1) $$ = \frac{3}{x}*2^{\sqrt x}+\ln x^3*2^{\sqrt x}*\ln 2*\frac{1}{2\sqrt x} =$$выносим \(2^{\sqrt x -1}\) за скобки и приводим дроби к общему знаменателю $$= 2^{\sqrt x -1}*\frac{6+\ln x^3*\ln 2*\sqrt x}{x}$$Ответ: \((\ln x^3*2^{\sqrt x})' = 2^{\sqrt x -1}*\frac{6+\ln x^3*\ln 2*\sqrt x}{x}\)
