Найдем интеграл \int \frac{1}{\sqrt{х^2+7х-8}}dx
Применим метод интегрирования дробно-линейных иррациональностей:
Интегралы вида \int R(x, \sqrt[k]{ \frac{ax+b}{cx+d}})dx, где \frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}, k - натуральное число и R - рациональная функция аргументов x и \frac{ax+b}{cx+d} , решаются методом подстановки вида \frac{ax+b}{cx+d} = t^k, которая приводит интегралы к интегралам от рациональной функции с переменной t
Выделим в многочлене знаменателя полный квадрат x^2+7x-8 =x^2+2*\frac{7}{2}x+\frac{49}{4}-\frac{49}{4}-8 = (x+\frac{7}{2})^2-\frac{81}{4} , подставляем в интеграл\int \frac{1}{\sqrt{x^2+7x-8}}dx =\int \frac{1}{ \sqrt{(x+\frac{7}{2})^2-\frac{81}{4}} }dx=
для упрощения расчетов вынесем из под корня число
\frac{81}{4} =\int\frac{2}{9}\frac{1}{ \sqrt{\frac{4}{81}(x+\frac{7}{2})^2-1 }}dx=
и введем замену
(x+\frac{7}{2}) \frac{2}{9} = u => dx =\frac{9}{2}du, подставляем
=\int \frac{2}{9}\frac{1}{\sqrt{u^2-1 }} \frac{9}{2}du =\int \frac{1}{ \sqrt{u^2-1 }} du
Для применения метода интегрирования дробно-линейных иррациональностей проведем преобразования
\frac{1}{ \sqrt{u^2-1 }} =\frac{1}{ \sqrt{ (u-1)(u+1) }} = \sqrt{ \frac{u+1}{u-1}}\frac{1}{ u+1}, поставляем в интеграл
=\int\sqrt{ \frac{u+1}{u-1}}\frac{1}{ u+1}du \quad (2)
Получили подынтегральную функцию - рациональная функция от переменной
u и выражения
\sqrt{ \frac{u+1}{u-1}}, поэтому введем замену
\sqrt{ \frac{u+1}{u-1}} = t =>\frac{u+1}{u-1} = t^2 =>,
u = \frac{t^2+1}{t^2-1} => du = - \frac{4t}{(t^2-1)^2}dt . Поставляем в интеграл (2)
=- \int t*\frac{1}{ \frac{t^2+1}{t^2-1} +1} \frac{4t}{(t^2-1)^2}dt =- \int t*\frac{t^2-1}{ t^2+1 +t^2-1} \frac{4t}{(t^2-1)^2}dt =
=- \int \frac{2}{(t^2-1)}dt =- 2 \int \frac{1}{2}( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1})dt=
= -\ln(t-1) +\ln(t+1) +C =\ln( \frac{t+1}{t-1}) +C
применяем обратную замену
t =\sqrt{ \frac{u+1}{u-1}} и вторично
u =(x+\frac{7}{2}) \frac{2}{9}, получаем
t =\sqrt{ \frac{(x+\frac{7}{2}) \frac{2}{9}+1}{(x+\frac{7}{2}) \frac{2}{9}-1}} = \sqrt{\frac{x+8}{x-1}}, подставляем в решение
=\ln( \frac{ \sqrt{\frac{x+8}{x-1}}+1}{ \sqrt{\frac{x+8}{x-1}}-1} +C =
умножим числитель и знаменатель на
\sqrt{x-1} = \ln(\frac{ \sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+8}-\sqrt{x-1}}) + C =
умножаем числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю
\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1} = \ln(\frac{ \sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+8}-\sqrt{x-1}} \frac{\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}}) + C =
= \ln(\frac{ (\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1})^2}{x+8-x+1} ) + C =
=\ln(\frac{ x+8 + 2\sqrt{x+8}*\sqrt{x-1} +x-1}{9}) + C =
= \ln( 2x+7 + 2\sqrt{(x+8)(x-1)}) + C =
= \ln( 2x+7 + 2\sqrt{x^2+7x-8}) + C
Ответ:
\int \frac{1}{\sqrt{х^2+7х-8}}dx = \ln( 2x+7 + 2\sqrt{x^2+7x-8}) + C