Найдем интеграл \(\int \frac{1}{\sqrt{х^2+7х-8}}dx\)
Применим метод интегрирования дробно-линейных иррациональностей:
Интегралы вида \( \int R(x, \sqrt[k]{ \frac{ax+b}{cx+d}})dx\), где \( \frac{a}{c} \ne \frac{b}{d}\), \(k\) - натуральное число и \(R\) - рациональная функция аргументов \(x\) и \(\frac{ax+b}{cx+d} \), решаются методом подстановки вида \(\frac{ax+b}{cx+d} = t^k\), которая приводит интегралы к интегралам от рациональной функции с переменной \(t\)
Выделим в многочлене знаменателя полный квадрат \(x^2+7x-8 =x^2+2*\frac{7}{2}x+\frac{49}{4}-\frac{49}{4}-8 = (x+\frac{7}{2})^2-\frac{81}{4} \), подставляем в интеграл$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+7x-8}}dx =\int \frac{1}{ \sqrt{(x+\frac{7}{2})^2-\frac{81}{4}} }dx=$$ для упрощения расчетов вынесем из под корня число \(\frac{81}{4}\) $$ =\int\frac{2}{9}\frac{1}{ \sqrt{\frac{4}{81}(x+\frac{7}{2})^2-1 }}dx=$$ и введем замену \( (x+\frac{7}{2}) \frac{2}{9} = u => dx =\frac{9}{2}du\), подставляем $$ =\int \frac{2}{9}\frac{1}{\sqrt{u^2-1 }} \frac{9}{2}du =\int \frac{1}{ \sqrt{u^2-1 }} du$$ Для применения метода интегрирования дробно-линейных иррациональностей проведем преобразования \(\frac{1}{ \sqrt{u^2-1 }} =\frac{1}{ \sqrt{ (u-1)(u+1) }} = \sqrt{ \frac{u+1}{u-1}}\frac{1}{ u+1}\), поставляем в интеграл $$ =\int\sqrt{ \frac{u+1}{u-1}}\frac{1}{ u+1}du \quad (2)$$ Получили подынтегральную функцию - рациональная функция от переменной \(u\) и выражения \(\sqrt{ \frac{u+1}{u-1}}\), поэтому введем замену \(\sqrt{ \frac{u+1}{u-1}} = t =>\frac{u+1}{u-1} = t^2 =>\), \( u = \frac{t^2+1}{t^2-1} => du = - \frac{4t}{(t^2-1)^2}dt \). Поставляем в интеграл (2) $$ =- \int t*\frac{1}{ \frac{t^2+1}{t^2-1} +1} \frac{4t}{(t^2-1)^2}dt =- \int t*\frac{t^2-1}{ t^2+1 +t^2-1} \frac{4t}{(t^2-1)^2}dt = $$$$ =- \int \frac{2}{(t^2-1)}dt =- 2 \int \frac{1}{2}( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1})dt=$$$$ = -\ln(t-1) +\ln(t+1) +C =\ln( \frac{t+1}{t-1}) +C$$ применяем обратную замену \(t =\sqrt{ \frac{u+1}{u-1}}\) и вторично \(u =(x+\frac{7}{2}) \frac{2}{9}\), получаем\(t =\sqrt{ \frac{(x+\frac{7}{2}) \frac{2}{9}+1}{(x+\frac{7}{2}) \frac{2}{9}-1}} = \sqrt{\frac{x+8}{x-1}}\), подставляем в решение $$ =\ln( \frac{ \sqrt{\frac{x+8}{x-1}}+1}{ \sqrt{\frac{x+8}{x-1}}-1} +C = $$ умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{x-1}\) $$ = \ln(\frac{ \sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+8}-\sqrt{x-1}}) + C =$$ умножаем числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю \(\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}\) $$= \ln(\frac{ \sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+8}-\sqrt{x-1}} \frac{\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1}}) + C = $$$$ = \ln(\frac{ (\sqrt{x+8}+\sqrt{x-1})^2}{x+8-x+1} ) + C =$$$$=\ln(\frac{ x+8 + 2\sqrt{x+8}*\sqrt{x-1} +x-1}{9}) + C =$$$$= \ln( 2x+7 + 2\sqrt{(x+8)(x-1)}) + C = $$$$ = \ln( 2x+7 + 2\sqrt{x^2+7x-8}) + C$$
Ответ: \(\int \frac{1}{\sqrt{х^2+7х-8}}dx = \ln( 2x+7 + 2\sqrt{x^2+7x-8}) + C \)
