Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка \(y'' + 4y=x^2+1 \) с начальными условиями \(y(0)=-1; \quad y'(0)=1\)
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение \( y'' + 4y = 0\)
Решение будем искать в виде \(y = e^{λx}\), тогда \(y' = λe^{λx}; \quad y'' = λ^2e^{λx}\). Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$ λ^2e^{λx} + 4e^{λx}= 0 =>$$ сокращаем на \(e^{λx}\), получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)$$λ^2 + 4 = 0 =>$$ найдем корни характеристического уравнения $$ λ_{1} = -2i; \quad λ_{2} = 2i $$ Получили комплексные корни им соответствуют два решения $$y_{λ_1}(x) = e^{λ_1x} = e^{-2ix}; \quad y_{λ_2}(x) = e^{λ_2x} = e^{2ix} $$Применяем формулу Эйлера \( e^{\pm iz} = \cos(z) \pm i\sin(z)\), получаем $$ y_{λ_1}(x) = e^{-2ix} = \cos(2x) - i\sin(2x); \quad y_{λ_2}(x) = e^{2ix} = \cos(2x) + i\sin(2x)$$ Из теории известно, что корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения \(y_1(x) = \cos(2x)\) и \(y_2(x) = \sin(2x)\).
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация $$y_{одн} = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) $$
2. Решаем неоднородное уравнение\( y'' + 4y=x^2+1 \)
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной \(C_1=C_1(x); \quad C_2=C_2(x)\) в виде \(y_{част}(x) = C_1(x) \cos(2x) + C_2(x) \sin(2x) \quad (1)\).
Для нахождения функций \(C_1(x);C_2(x)\), подставим результаты в систему $$ \begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}$$ Из уравнения видно, что \(b(x) = x^2+1; \quad a_0(x) = 1\). Из однородного решения получаем, что \(y_1(x) = \cos(2x); \quad y_2(x) = \sin(2x) \) подставляем в систему $$ \begin{cases} C'_1(x) \cos(2x) + C'_2(x) \sin(2x) = 0\\ C_1'(x)(-2\sin{2x}) + C_2'(x)*2\cos(2x) = x^2+1 \end{cases} => $$ решаем систему уравнений $$\begin{cases} C'_1(x) = -C'_2(x) \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \\ -C'_2(x) \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}(-2\sin{2x}) + C_2'(x)*2\cos(2x) = x^2+1 \end{cases} =>$$$$\begin{cases} C'_1(x) = -C'_2(x) \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \\ C'_2(x) \frac{2}{\cos(2x)} = x^2+1 \end{cases} =>$$$$\begin{cases} C'_1(x) = -\frac{x^2+1}{2}\sin(2x) \\ C'_2(x) = \frac{x^2+1}{2}\cos(2x) \end{cases} =>$$ Интегрируем полученные решения системы уравнений и получим искомые функции $$\begin{cases} \int C'_1(x)dx = - \int \frac{x^2+1}{2}\sin(2x)dx \\ \int C_2'(x)dx = \int \frac{x^2+1}{2}\cos(2x)dx \end{cases} => $$$$\begin{cases} C_1(x) = \frac{1}{4} x^2 \cos(2 x) - \frac{1}{4}x\sin(2x)+\frac{1}{8}\cos(2 x) \\ C_2(x)= \frac{1}{4} x^2 \sin(2 x) + \frac{1}{4}x\cos(2x)+\frac{1}{8}\sin(2 x) \end{cases} $$
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
$$y_{неодн} = C_1(x) \cos(2x) + C_2(x) \sin(2x) = $$$$ = ( \frac{1}{4} x^2 \cos(2 x) - \frac{1}{4}x\sin(2x)+\frac{1}{8}\cos(2 x)) \cos(2x) + (\frac{1}{4} x^2 \sin(2 x) + \frac{1}{4}x\cos(2x)+\frac{1}{8}\sin(2 x)) \sin(2x) =$$$$ = \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{8}$$
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида \(y_{об} = y_{одн} +y_{неодн} \)
подставляем результаты из п.1,п.2 $$y_{об} =C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) + \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{8} \quad (2)$$
4. Подставляем начальные условия \(y(0)=-1; \quad y'(0)=1\)
$$y(0) = -1 => C_1 \cos(2*0) + C_2 \sin(2*0) + \frac{1}{4} 0^2 + \frac{1}{8} = -1 => C_1=- \frac{9}{8} $$$$y'(0) =1 => -C_1*2\sin(2*0) + C_2*2 \cos(2*0) + \frac{1}{2} 0 = 1 => C_2 = \frac{1}{2}$$ Подставляем в (2) $$ y_{об} =- \frac{9}{8}\cos(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{8} $$
Ответ: решение дифференциального уравнения \(y'' + 4y=x^2+1 \) с начальными условиями \(y(0)=-1; \quad y'(0)=1\) равно \(y_{об} =- \frac{9}{8}\cos(2x) + \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4} x^2 + \frac{1}{8} \)
