Решение: вычислим приближенно определенный интеграл \( \int_{0}^{0,5} \frac{\sin(x^2)}{x^2}dx \), используя разложение подынтегральной функции в степенные ряды.
Представим подынтегральную функцию в виде произведения двух функций \(f(x) = \frac{1}{x^2}\) и \( g(x) = \sin(x^2) \).
Разложим функцию \( g(x) = \sin(x^2) \) в степенной ряд Маклорена $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ..... \quad (1)$$ Найдем значении функции и значения ее производных в точке \(x=0\)
\(f(0) = \sin(x^2) = 0\)
\(f'(0) = 2x\cos(x^2) = 0\)
\(f''(0) = 2\cos(x^2)-4 x^2 \sin(x^2) = 2\)
\(f'''(0) = -4x\sin(x^2) - 8x\sin(x^2) - 8 x^3 \cos(x^2) = -4x(3\sin(x^2) + 2x^2 \cos(x^2)) = 0\)
\(f^{(4)}(0) = -4(3\sin(x^2) + 2x^2 \cos(x^2)) - 4x(10x\cos(x^2) - 4x^3 \sin(x^2))= 0\)
\(f^{(5)}(0) = -120 x \cos(x^2)+32 x^5 \cos(x^2)+160 x^3 \sin(x^2)= 0\)
\(f^{(6)}(0) = -120 \cos(x^2)+480 x^4 \cos(x^2)+720 x^2 \sin(x^2)-64 x^6 \sin(x^2)= -120\)
Подставляем в (1), получаем разложение функции \(g(x) = \sin(x^2) \) в ряд Маклорена $$ \sin(x^2) = 0 + 0 + \frac{2}{2!}x^2 + 0 + 0 + 0 + \frac{-120}{6!}x^6 + Q(x^7) => $$$$ \sin(x^2) = x^2 - \frac{1}{6}x^6 + Q(x^7) $$ Получаем подынтегральное выражение $$ \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1 - \frac{1}{6}x^4 + Q(x^5) $$ Интегрируем обе части равенства в заданных границах $$ \int_0^{0.5}\frac{\sin(x^2)}{x^2}dx = \int_0^{0.5}( 1 - \frac{1}{6}x^4 + Q(x^5))dx = $$$$ = x - \frac{1}{30}x^5+ Q(x^6)|_0^{0.5} \approx 0.5 - 0.00104 $$
Получили знакопеременный ряд. Для того, чтобы проводить дальнейшие расчеты необходимо определить количество членов ряда для суммирования с учетом того, что погрешность \(\sigma = 0.001\)
Найдем значения каждого члена ряда и сравним с \( \sigma = 0.001\)
\( 0.5 > 0.001\)
\( \frac{1}{30}0.5^5 \approx 0.00104 \approx 0.001\)
Дальнейшие расчеты проводить не будим, точность расчетов достаточна $$ \int_0^{0.5}\frac{\sin(x^2)}{x^2}dx \approx 0.5 - 0.00104 \approx 0.49896 $$
Ответ: \( \int_0^{0.5}x^2 \frac{\sin(x^2)}{x^2}dx \approx 0.49896 \)
