Loading Web-Font TeX/Math/Italic
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции


0 Голосов
Иванов Дмитри
Posted Ноябрь 7, 2016 by Иванов Дмитрий Игоревич
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 2383

Найти найбольшее и найменьшее значение функции  y=f\left(x\right)

на отрезке [а;b]


y=\frac{x}{2}-\cos\left(x\right)

           \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}\right]

Теги: Значение, функций

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 7, 2016 by Вячеслав Моргун

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции  y= \frac{x}{2}-\cos(x)   на отрезке x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] .


Наибольшим, наименьшим значением функции на отрезке могут быть точки:
1. максимума,
2. минимума,
3. или значения функции на концах отрезка. 


Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:


1. Находим стационарные точки:
Для нахождения стационарных точек найдем первую производную и приравняем ее у нулю y' = ( \frac{x}{2}-\cos(x))' =  \frac{1}{2}+\sin(x) 

приравняем производную к нулю  y' = \frac{1}{2}+\sin(x) = 0 => \sin(x) = -\frac{1}{2}; \quad x = (-1)^{n+1} \frac{ \pi}{6} +2\pi n \quad n \in Z
функция имеет три стационарные точки.


2 Выбираем из полученных стационарных точек те, которые принадлежат заданному отрезку.
Функция y отрезке [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] имеет точку вероятного экстремума (минимума, максимума) x = -\frac{\pi}{6}


3. Находим значения функции в стационарных точках (см п.2).
Найдем значение функции в этих точках
f(\frac{ -\pi}{6})=   \frac{x}{2}-\cos(x) = -\frac{\pi}{12} -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -1.13


4. Находим значения функции на концах заданного отрезка:
f(-\frac{\pi}{4})=  \frac{x}{2}-\cos(x) = -\frac{\pi}{8} -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -1.10

f(\frac{\pi}{4})=  \frac{x}{2}-\cos(x) = \frac{\pi}{8} -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.31


5. Из полученных значений функции (п.3 и п.4) выбираем наибольшее и наименьшее значения.


Сравниваем результаты, полученные в п.3 и п.4
Наибольшее значение выбираем из точек максимума (если есть) и значений функции на концах отрезка.
Наименьшее значение выбираем из точек минимума (если есть) и значений функции на концах отрезка.

Наибольшее значение функции на отрезке - значение функции в правой границе отрезка f_{max}(\frac{\pi}{4}) =-0.3
Наименьшее значение функции на отрезке - значение функции в точке минимума f_{min}(-\frac{\pi}{6}) =-1.13


Проверяем полученный результат, строим график функции:
Найдем наибольшее и наименьшее значения функции \( y= \frac{x}{2}-\cos(x) \)  на отрезке \( x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] \).