Найти наименьшее и наибольшее значения функции

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции \( y= \frac{x}{2}-\cos(x) \)  на отрезке \( x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] \).

Наибольшим, наименьшим значением функции на отрезке могут быть точки:
1. максимума,
2. минимума,
3. или значения функции на концах отрезка. 

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1. Находим стационарные точки:
Для нахождения стационарных точек найдем первую производную и приравняем ее у нулю $$y' = ( \frac{x}{2}-\cos(x))' =  \frac{1}{2}+\sin(x) $$ приравняем производную к нулю $$ y' = \frac{1}{2}+\sin(x) = 0 => \sin(x) = -\frac{1}{2}; \quad x = (-1)^{n+1} \frac{ \pi}{6} +2\pi n \quad n \in Z$$ функция имеет три стационарные точки.

2 Выбираем из полученных стационарных точек те, которые принадлежат заданному отрезку.
Функция \(y\) отрезке \([-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]\) имеет точку вероятного экстремума (минимума, максимума) \(x = -\frac{\pi}{6}\). 

3. Находим значения функции в стационарных точках (см п.2).
Найдем значение функции в этих точках
$$f(\frac{ -\pi}{6})=   \frac{x}{2}-\cos(x) = -\frac{\pi}{12} -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -1.13$$
4. Находим значения функции на концах заданного отрезка:
$$f(-\frac{\pi}{4})=  \frac{x}{2}-\cos(x) = -\frac{\pi}{8} -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -1.10$$
$$f(\frac{\pi}{4})=  \frac{x}{2}-\cos(x) = \frac{\pi}{8} -\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.31$$

5. Из полученных значений функции (п.3 и п.4) выбираем наибольшее и наименьшее значения.

Сравниваем результаты, полученные в п.3 и п.4
Наибольшее значение выбираем из точек максимума (если есть) и значений функции на концах отрезка.
Наименьшее значение выбираем из точек минимума (если есть) и значений функции на концах отрезка.

Наибольшее значение функции на отрезке - значение функции в правой границе отрезка \(f_{max}(\frac{\pi}{4}) =-0.3 \)
Наименьшее значение функции на отрезке - значение функции в точке минимума \(f_{min}(-\frac{\pi}{6}) =-1.13 \)

Проверяем полученный результат, строим график функции: