Рішення: визначимо взаємне розташування прямих l_1: \quad x + 2y + 4 = 0 і l_2: \quad x-11 = 0 .
Прямі можуть бути колінеарними або пересічними
1. Перевіряємо прямі на колінеарність
Дві прямі називаються колінеарними, якщо вони паралельні або збігаються
Прямі l_1: \quad A_1x + B_1y + C_1 = 0 і l_2: \quad A_2x + B_2y + C_2 = 0 паралельні тоді і тільки тоді, коли відповідні коефіцієнти при невідомих в їх рівняннях пропорційні, тобто існує таке число \lambda \ne 0 , що A_1 = \lambda A_2 , B_1 = \lambda B_2 , але C_1 \ne \lambda C_2 .
Інакше цю умову можна записати l_1 || l_2: \quad \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2}
Прямі l_1, l_2 збігаються тоді і тільки тоді, коли всі відповідні коефіцієнти в їх рівняннях пропорційні: A_1 = \lambda A_2 , B_1 = \lambda B_2 , C_1 = \lambda C_2 .
інакше цю умову можна записати l_1 || l_2: \quad \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}
Перевіряємо на колінеарність прямі l_1: \quad x + 2y + 4 = 0 і l_2: \quad x-11 = 0 . \frac{1}{1} \ne \frac{2}{0} \ne \frac{4}{11}
Висновок: прямі не є колінеарними.
2. Пересічні прямі
Необхідною і достатньою умовою перетину двох прямих l_1; l_2 є умова не колінеарності їх нормалей, або, що те ж саме, умова непропорційності коефіцієнтів при невідомих : \frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2}
Перевіряємо на колінеарність прямі l_1: \quad x + 2y + 4 = 0 і l_2: \quad x-11 = 0 . \frac{1}{1} \ne \frac{2}{0}
Висновок : прямі є пересічними.
3. Знайдемо точку перетину прямих.
Вирішимо систему рівнянь \begin{cases} x + 2y + 4 = 0 \\x-11 = 0 \end{cases} = > \begin{cases} y = -7.5 \\x = 11 \end{cases}
Відповідь : точка перетину прямих (11; -7.5)
4. Знайдемо кут між прямими.
Рішення: обчислимо тангенс кута між прямими x + 2y + 4 = 0 і x-11 = 0 .
Пересічні прямі задані своїми загальними рівняннями A_1x + B_1y + C_1 = 0 , A_2x + B_2y + C_2 = 0 .
Тангенс кута між прямими, рівняння яких задані загальними рівняннями, розраховується за формулою tg (\phi) = | \frac{A_1B_2-A_2B_1}{A_1A_2 + B_1B_2} | Підставляємо значення коефіцієнтів прямих tg (\phi) = | \frac{1 * 0-2 * 1}{1 * 1 + 2 * 0} | = 2 Кут дорівнює \phi = arctg (2) \approx 63.43 ^ 0
Відповідь : кута між прямими дорівнює \phi \approx 63.43 ^ 0
