Найти $\frac{dy}{dx}$ и $\frac{d^2y}{dx^2}$ для заданных функций

Найдем первую  $\frac{dy}{dx}$ и вторую $\frac{d^2y}{dx^2}$ производную функций:
1. $y=e^x\sin(2x)$
2. $x= \sin(2t), y= \cos(2t)$ 

1.  Первая производная  $\frac{dy}{dx}$ функции $y=e^x\sin(2x)$.
Применим формулу производной произведения $y' = (g(x)f(x))' = g'(x)f(x) + g(x)f'(x)$.
Применяем формулу $$y' = (e^x\sin(2x))' = (e^x)'\sin(2x) + e^x (\sin(2x))'  \quad (1)$$
находим производную  $(e^x)'$ - воспользуемся таблицей простейших производных, получаем  $(e^x)' = e^x$
находим производную  $\sin(2x)'$ - воспользуемся таблицей простейших производных, получаем  $(\sin(ax))' = a\cos(ax)$
Подставляем результаты в (1), получаем $$y' = (e^x\sin(2x))'  = (e^x)'\sin(2x) + e^x (\sin(2x))' =$$ $$= e^x\sin(2x) + e^x*2\cos(2x)$$  
Ответ:  $(e^x\sin(2x))' = e^x(\sin(2x) + 2\cos(2x))$

Вторая производная $\frac{d^2y}{dx^2}$ функции $y=e^x\sin(2x)$.
Вторую производную. функции будем искать путем нахождения производной, полученного результата, т.е. первой производной
$$y'' =  \frac{d^2y}{dx^2} = (e^x(\sin(2x) + 2\cos(2x)))' =$$ Применим формулу производной произведения  $y' = (g(x)f(x))' = g'(x)f(x) + g(x)f'(x)$, получаем $$(e^x( \sin(2x) + 2 \cos(2x)))' =$$ $$= (e^x)'( \sin(2x) + 2 \cos(2x)) + e^x( \sin(2x) + 2 \cos(2x))' =$$
находим производную  $\cos(2x)'$ - воспользуемся таблицей простейших производных, получаем  $(\cos(ax))' = -a\sin(ax)$, подставляем и получаем $$= e^x(\sin(2x) + 2\cos(2x)) + e^x(2\cos(2x) - 4\sin(2x)) =$$ $$= e^x( 4\cos(2x) - 3\sin(2x))$$
Ответ:  $(e^x\sin(2x))'' = e^x( 4\cos(2x) - 3\sin(2x)))$

2.  Производная функции $x= \sin(2t), y= \cos(2t)$.
Найдем производную параметрически заданной функции $\begin{cases}  x = \sin(2t) \\  y= \cos(2t) \end{cases}$
1. Применим формулу производной параметрически заданной функции $y(x)' = \frac{y'(t)}{x'(t)}  \quad (2)$
$$y'(x)= \frac{( \cos(2t))'}{( \sin(2t))'}=$$
Находим отдельно производные числителя и знаменателя

2. Производная числителя:
$(\cos(2t))'$ применяем формулу косинуса $(\cos(ax))' = -a\sin(ax)$,  получаем $y'_t = (\cos(2t))'  = -2\sin(2t)$
3. Производная знаменателя:
$(\sin(2t))'$ применяем формулу синуса $\sin(ax)' = a\cos(ax)$,  получаем $x'_t = (\sin(2t))'  = 2\cos(2t)$
4. Подставляем результаты пунктов (2) и (3) в (1)
$$y'(x)= \frac{( \cos(2t))'}{( \sin(2t))'} = \frac{-2 \sin(2t)}{2\cos(2t)} = -\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} = -tg(2t)$$

Ответ: $y'_x = -tg(2t)$

Найдем вторую производную  $\frac{d^2y}{dx^2}$ заданной функции по следующей формуле $$y''_xx =  \frac{d^2y}{dx^2} = (y'_x)'_x = \frac{dy'_x}{dx}$$ Применяем формулу (2)   $$\frac{dy'_x}{dx} =  \frac{\frac{dy'_x}{dt}}{\frac{dx(t)}{dt}} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t} \quad (3)$$
Находим производную числителя:  $(y'_x)'_t = (-tg(2t))'_t = -2\frac{1}{\cos^2(t)}$
Находим производную знаменателя:  мы ее нашли уже в п.3 $(\sin(2t))'  = 2\cos(2t)$
Подставляем результаты в формулу (3)
$$y''_xx =  \frac{d^2y}{dx^2}  =  \frac{(y'_x)'_t}{x'_t} = \frac{  -2\frac{1}{\cos^2(t)}}{ 2\cos(2t)} = - \frac{1}{\cos^3(2t)}$$  
Можно использовать сразу формулу $$(y)''_x= \frac {(x)'_t\cdot (y)''_t-(y)'_t\cdot (x)''_t}{((x)'_t)^3}$$
Подставляем данные: 
$x'_t = 2\cos(2t) => x''_t = (2\cos(2t))'_t = -4\sin(2t)$
$y'_t  = -2\sin(2t) => y''_t  = (-2\sin(2t))'_t = -4\cos(2t)$ 

Подставляем в формулу
$$(y)''_x  =  \frac {2\cos(2t) \cdot ( -4\cos(2t))-(-2\sin(2t))\cdot (-4\sin(2t))}{(2\cos(2t))^3} =$$ $$=   \frac { - \cos(2t) \cdot \cos(2t)- \sin(2t)\cdot \sin(2t)}{\cos^3(2t)} = - \frac{1}{\cos^3(2t)}$$

Ответ: $y'_x = - \frac{1}{\cos^3(2t)}$