Найдем первую \( \frac{dy}{dx} \) и вторую \( \frac{d^2y}{dx^2}\) производную функций:
1. \( y=e^x\sin(2x)\)
2. \(x= \sin(2t), y= \cos(2t)\)
1. Первая производная \( \frac{dy}{dx} \) функции \(y=e^x\sin(2x)\).
Применим формулу производной произведения \(y' = (g(x)f(x))' = g'(x)f(x) + g(x)f'(x) \).
Применяем формулу $$ y' = (e^x\sin(2x))' = (e^x)'\sin(2x) + e^x (\sin(2x))' \quad (1)$$
находим производную \((e^x)'\) - воспользуемся таблицей простейших производных, получаем \((e^x)' = e^x\)
находим производную \( \sin(2x)'\) - воспользуемся таблицей простейших производных, получаем \((\sin(ax))' = a\cos(ax)\)
Подставляем результаты в (1), получаем $$ y' = (e^x\sin(2x))' = (e^x)'\sin(2x) + e^x (\sin(2x))' = $$$$ = e^x\sin(2x) + e^x*2\cos(2x)$$
Ответ: \( (e^x\sin(2x))' = e^x(\sin(2x) + 2\cos(2x))\)
Вторая производная \( \frac{d^2y}{dx^2}\) функции \(y=e^x\sin(2x)\).
Вторую производную. функции будем искать путем нахождения производной, полученного результата, т.е. первой производной
$$y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = (e^x(\sin(2x) + 2\cos(2x)))' = $$ Применим формулу производной произведения \(y' = (g(x)f(x))' = g'(x)f(x) + g(x)f'(x) \), получаем $$ (e^x( \sin(2x) + 2 \cos(2x)))' = $$$$ = (e^x)'( \sin(2x) + 2 \cos(2x)) + e^x( \sin(2x) + 2 \cos(2x))' = $$
находим производную \( \cos(2x)'\) - воспользуемся таблицей простейших производных, получаем \((\cos(ax))' = -a\sin(ax)\), подставляем и получаем $$ = e^x(\sin(2x) + 2\cos(2x)) + e^x(2\cos(2x) - 4\sin(2x)) = $$$$ = e^x( 4\cos(2x) - 3\sin(2x))$$
Ответ: \( (e^x\sin(2x))'' = e^x( 4\cos(2x) - 3\sin(2x)))\)
2. Производная функции \(x= \sin(2t), y= \cos(2t)\).
Найдем производную параметрически заданной функции \( \begin{cases} x = \sin(2t) \\ y= \cos(2t) \end{cases} \)
1. Применим формулу производной параметрически заданной функции \(y(x)' = \frac{y'(t)}{x'(t)} \quad (2)\)
$$y'(x)= \frac{( \cos(2t))'}{( \sin(2t))'}= $$
Находим отдельно производные числителя и знаменателя
2. Производная числителя:
\((\cos(2t))'\) применяем формулу косинуса \((\cos(ax))' = -a\sin(ax)\), получаем \( y'_t = (\cos(2t))' = -2\sin(2t)\)
3. Производная знаменателя:
\((\sin(2t))'\) применяем формулу синуса \(\sin(ax)' = a\cos(ax)\), получаем \( x'_t = (\sin(2t))' = 2\cos(2t)\)
4. Подставляем результаты пунктов (2) и (3) в (1)
$$y'(x)= \frac{( \cos(2t))'}{( \sin(2t))'} = \frac{-2 \sin(2t)}{2\cos(2t)} = -\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} = -tg(2t)$$
Ответ: \( y'_x = -tg(2t) \)
Найдем вторую производную \( \frac{d^2y}{dx^2}\) заданной функции по следующей формуле $$ y''_xx = \frac{d^2y}{dx^2} = (y'_x)'_x = \frac{dy'_x}{dx}$$ Применяем формулу (2) $$ \frac{dy'_x}{dx} = \frac{\frac{dy'_x}{dt}}{\frac{dx(t)}{dt}} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t} \quad (3)$$
Находим производную числителя: \((y'_x)'_t = (-tg(2t))'_t = -2\frac{1}{\cos^2(t)}\)
Находим производную знаменателя: мы ее нашли уже в п.3 \( (\sin(2t))' = 2\cos(2t)\)
Подставляем результаты в формулу (3)
$$y''_xx = \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t} = \frac{ -2\frac{1}{\cos^2(t)}}{ 2\cos(2t)} = - \frac{1}{\cos^3(2t)}$$
Можно использовать сразу формулу $$(y)''_x= \frac {(x)'_t\cdot (y)''_t-(y)'_t\cdot (x)''_t}{((x)'_t)^3}$$
Подставляем данные:
\(x'_t = 2\cos(2t) => x''_t = (2\cos(2t))'_t = -4\sin(2t) \)
\( y'_t = -2\sin(2t) => y''_t = (-2\sin(2t))'_t = -4\cos(2t) \)
Подставляем в формулу
$$(y)''_x = \frac {2\cos(2t) \cdot ( -4\cos(2t))-(-2\sin(2t))\cdot (-4\sin(2t))}{(2\cos(2t))^3} = $$$$= \frac { - \cos(2t) \cdot \cos(2t)- \sin(2t)\cdot \sin(2t)}{\cos^3(2t)} = - \frac{1}{\cos^3(2t)}$$
Ответ: \( y'_x = - \frac{1}{\cos^3(2t)} \)
