1) Знайти рівняння площини, яка проходить через точку \(M_1 (2; 2; -2) \) і паралельна до площини \(x - 2y - 3z = 0 \).
2) Написати рівняння площини, яка проходить через точки \(М_1 (-1; -2; 0) \) і \(М_2 (1; 1; 2) \) і перпендикулярна до площини \(x + 2y + 2z - 4 = 0 \)
1) Знайти рівняння площини, яка проходить через точку \(M_1 (2; 2; -2) \) і паралельна до площини \(x - 2y - 3z = 0 \).
Т.я. дві площини паралельні, то нормальні вектора обох площин рівні \((A_1=A_2; \quad B_1=B_2 \quad C_1=C_2)\), знаходимо його з рівняння площині (1) \(x - 2y - 3z = 0 = > \vec{N} = (1; -2; -3) \) у нас є нормальний вектор, є точка \(M_1 (5; 3; -1) \), підставляємо в рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору і отримуємо $$ A (x-x_0) + B ( y-y_0) + C (z-z_0) = 0 = > $$$$ 1 * (x-2) -2 * (y-2) 3 * (z + 2) = 0 $$ або $$ x - 2y - 3z - 4 = 0 $$
Можна вирішити іншим методом
Розглянемо дві площини, задані рівняннями $$ A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \quad A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 $$ необхідним і достатнім умовою паралельності двох площ є пропорційність коефіцієнтів при відповідних змінних координат $$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \lambda $$ отримуємо \(A_1 = A_2 \lambda; \quad B_1 = B_2 \lambda; \quad C_1 = C_2 \lambda \) отримуємо дані рівняння \(x - 2y - 3z + D_2 = 0 \) (після підстановки \( \lambda \) скорочується). Нам потрібно довільний вільний член \(D_2 \). Підставами координати відомої точки \(M_1 (2; 2; -2) \), отримуємо $$ 2 - 2 * 2 - 3 (-2) + D_2 = 0 = > D_2 = -4 $$ Отримали рівняння площини $$ x - 2y - 3z - 4 = 0 $$
Відповідь: Рівняння площини, яка проходить через точку \(M_1 (2; 2; -2) \) і паралельна до площини \(x - 2y - 3z = 0 \) є \(x - 2y - 3z - 4 = 0 \)
2) Написати Рівняння площини, яка проходить через точки \(M_1 (-1; -2; 0) \) і \(M_2 (1; 1; 2) \) і перпендикулярна до площини \(x + 2y + 2z - 4 = 0 \)
Знайдемо рівняння площини \(Ax + By + Cz + D = 0 \), яка перпендикулярна площині \(x + 2y + 2z - 4 = 0 \).
Алгоритм рішення.
Для вирішення завдання складемо систему рівнянь і вирішимо її. Нам потрібно знайти невідомі коефіцієнти \(A; B; C \)
1. Застосуємо рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору і отримуємо \(A (x-x_0) + B (y-y_0) + C (z-z_0) = 0 \)
З умови завдання відомо значення точки \(M_1 (-1; -2; 0) \), через яку проходить площину. Підставимо її координати, отримуємо перше рівняння системи $$ A (x + 1) + B (y + 2) + C (z-0) = 0 \quad (1) $$
2. Площина (1) проходить і через другу точку, тому підставимо координати другої точки \(M_2 (1; 1; 2) \) в рівняння (1) \(A (1 + 1) + B (y + 2) + C (z-0) = 0 = > 2A + 3B + 2C = 0 \)
Отримали друге рівняння для системи.
Координати двох точок використовували, залишилося застосувати властивість перпендикулярності площин.
3. Застосуємо властивість перпендикулярності двох площин.
Площини перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли вектори нормалей площин перпендикулярні, отже, їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Формула скалярного твори векторів для просторових задач
Скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами, дорівнює сумі добутків відповідних координат $$ \vec{ a} * \vec{b} = a_x * b_x + a_y * b_y + a_z * b_z \quad (2) $$ тобто для перпендикулярних площин ця формула набуде вигляду $$ A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0 \quad (3) $$
З рівняння площини \(x + 2y + 2z - 4 = 0 \) отримуємо \(A_1 = 1; \quad B_1 = 2; \quad C_1 = 2 \)
З рівняння площини \(Ax + By + Cz + D_1 = 0 \) отримуємо \(A_2 = A; \quad B_2 = B; \quad C_2 = C \)
Підставляємо в (3), отримуємо третє рівняння системи $$ 1 * A + 2 * B + 2 * C = 0 $$
4. Складаємо систему рівнянь: $$ \begin{cases} A (x + 1) + B (y + 2) + Cz = 0 \\2A + 3B + 2C = 0 \\A + 2B + 2C = 0 \end{cases} = > $$ Трошки спростимо. Віднімемо з рядка 2 рядок 3 $$ \begin{cases} A (x + 1) + B (y + 2) + C (z-0) = 0 \\A + B = 0 \\A + 2B + 2C = 0 \end{cases} = > $$ виразимо дві невідомі через третю $$ \begin{cases} A (x + 1) + B (y + 2) + Cz = 0 \\A = - B \\C = - \frac{1}{2} B \end{cases} = > \begin{cases} -B (x + 1) + B (y + 2) - \frac{1}{2} Bz = 0 \\A = - B \\C = - \frac{1}{2} B \end{cases} = > $$ скоротимо в першому рядку \(B\) і отримаємо шукане рівняння площині $$ \begin{cases} - (x + 1) + (y + 2) - \frac{1}{2} z = 0 \\A = - B \\C = - \frac{1}{2} B \end{cases} = > \begin{cases} -x + y- \frac{1}{2} z + 1 = 0 \\A = - B \\C = - \frac{1}{2} B \end{cases} = > $$
Відповідь: рівняння площини, яка проходить через точки \(M_1 (-1; -2; 0) \) і \(M_2 (1; 1; 2) \) і перпендикулярна до площини \(x + 2y + 2z - 4 = 0 \) є $$ -x + y- \frac{1}{2} z + 1 = 0 $$
