Это уравнение можно представить в виде \(y' = f(\frac{y}{x})\), а также в виде \(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\), где \(M(x,y); N(x,y)\) - функции одинаковых степеней. Представим в первом виде \(2x^3y' = y(2x^2-y^2) => y' = \frac{y(2x^2-y^2)}{2x^3}\), т.е. мы показали, что это однородное дифференциальное уравнение и решать его будем методом замены \(y = tx => dy = xdt + tdx\).
Решаем уравнение $$2x^3y' = y(2x^2-y^2) =>$$применяем замену$$2x^3\frac{xdt + tdx}{dx} = tx(2x^2-(tx)^2) =>2x^3\frac{xdt}{dx} + 2x^3t = 2tx^3-(tx)^3 =>$$$$2x^3\frac{xdt}{dx} = -(tx)^3 => 2\frac{xdt}{dx} = -t^3 =>$$в левую часть уравнения переносим все члены с \(t\), а в правую с \(x\)$$2\frac{dt}{t^3} = -\frac{dx}{x} =>$$мы потеряли два решения \(x = 0; t = 0\), в конце проверим, являются ли они решением или нет. Проинтегрируем обе части $$\int 2\frac{dt}{t^3} = -\int \frac{dx}{x} =>2*\frac{1}{-2t^2} = - \ln|x| +C$$$$\frac{1}{t^2} = \ln|x| +C$$применяем обратную замену \(y = tx => t = \frac{y}{x}\), получаем $$\frac{1}{(\frac{y}{x})^2} = \ln|x| +C => y^2 = \frac{x^2}{\ln|x| +C} => y = \pm\ \frac{x}{\sqrt{\ln|x| +C}}$$Проверяем, являются ли решением \(x = 0; t = 0\), т.к. \(y = tx => t = \frac{y}{x} =>\) \(t = 0\) если \(y = 0\). Рассмотрим ответ, согласно ОДЗ логарифма \(x \ne 0 =>\) \(y\) тоже не равен 0 \(y \ne 0\), т.е. \(x = 0; y =0\) не являются решением дифференциального уравнения.
Ответ: \(y = \pm\ \frac{x}{\sqrt{\ln|x| +C}}\)
