Вспомним формулу разложения определителя по строке \(i\) $$det A = \sum_{k=1}^n(-1)^{i+k}a_{ik}M_{ik} = \sum_{k=1}^n(-1)^{i+k}a_{ik}A_{ik}$$Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки на их алгебраические дополнения. Если мы разложим по первой строке, то получим сумму пяти произведений элементов строки на их алгебраические дополнения, т.е. на матрицы размера 4 (4-го порядка), т.е. таких матриц будет 5. Если каждую матрицу разложить по элементам какой-то строки, то получим сумму 4 матриц (всего 5*4=20) 3-го порядка и т.д. Вывод, если у нас определитель 5-го порядка, то при его вычислении мы получим \((n)!\), в нашем случае \((5)!\) определителей первого порядка. Т.е. решение будет громоздким. Поэтому, используя элементарные преобразования определителя, приведем его к треугольному виду, что существенно упростит вычисления. Приступаем
$$\left |\begin{matrix}
3&6&5&6&4\\
5&9&7&8&6\\
6&12&13&9&7\\
4&6&6&5&4\\
2&5&4&5&3
\end{matrix} \right | = $$необходимо выбрать один элемент в качестве ведущего . Пусть это будет \(a_{11}\). Нам нужно чтобы \(a_{11} = 1\), для этого вычтем из первой строки последнюю строку, получим
$$= \left |\begin{matrix}
1&1&1&1&1\\
5&9&7&8&6\\
6&12&13&9&7\\
4&6&6&5&4\\
2&5&4&5&3
\end{matrix}\right | = $$все остальные элементы первого столбца сделаем равными 0. Для этого умножим первую строку на 5 и вычтем ее из второй строки
$$ = \left |\begin{matrix}
1&1&1&1&1\\
0&4&2&3&1\\
6&12&13&9&7\\
4&6&6&5&4\\
2&5&4&5&3
\end{matrix}\right | = $$получили искомый элемент \(a_{21} = 0\). Умножим первую строку на 6 и вычтем из третьей строки, для четвертой умножим на 4, для последней на 2. Получим
$$= \left |\begin{matrix}
1&1&1&1&1\\
0&4&2&3&1\\
0&6&7&3&1\\
0&2&2&1&0\\
0&3&2&3&1
\end{matrix}\right | =$$С первой колонкой закончили, теперь рассмотрим вторую колонку. Рассмотрим вторую колонку. Элемент \(a_{22} = 4\), нам нужен \(a_{22}=1\), для этого вычтем из второй строки последнюю, получим
$$= \left |\begin{matrix}
1&1&1&1&1\\
0&1&0&0&0\\
0&6&7&3&1\\
0&2&2&1&0\\
0&3&2&3&1
\end{matrix}\right | =$$Умножим вторую строку на 6 и вычтем из третьей, умножим ее на 2 и вычтем из четвертой, на 3 и вычтем из пятой строки, получим
$$= \left |\begin{matrix}
1&1&1&1&1\\
0&1&0&0&0\\
0&0&7&3&1\\
0&0&2&1&0\\
0&0&2&3&1
\end{matrix}\right | =$$Приступаем к третьей колонке. Переходим к третьей строке, элемент \(a_{33} = 7\), вычтем из третьей строки четвертую, умноженную на 3, получим ведущий элемент \(a_{33}=1\)
$$= \left |\begin{matrix}
1&1&1&1&1\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&1\\
0&0&2&1&0\\
0&0&2&3&1
\end{matrix}\right | =$$Теперь как и в предыдущих шагах, умножаем третью строку на 2 и вычитаем из четвертой и пятой строчки
$$= \left |\begin{matrix}
1&1&1&1&1\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&-2\\
0&0&0&3&-1
\end{matrix}\right | =$$Ну и последний шаг - умножаем четвертую строку на 3 и вычитаем из пятой, получаем
$$= \left |\begin{matrix}
1&1&1&1&1\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&-2\\
0&0&0&0&5
\end{matrix}\right | =>$$Получили определитель верхней треугольной матрицы который равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали
$$\left |\begin{matrix}
1&1&1&1&1\\
0&1&0&0&0\\
0&0&1&0&0\\
0&0&0&1&-2\\
0&0&0&0&5
\end{matrix}\right | = 1*1*1*1*5 = 5$$
Ответ: \(\left |\begin{matrix}
3&6&5&6&4\\
5&9&7&8&6\\
6&12&13&9&7\\
4&6&6&5&4\\
2&5&4&5&3
\end{matrix}\right | = 5\)
