Задание: провести полное исследование функции методами дифференциального исчисления и построить ее $$ y = x^2 + \frac{25}{х}$$
Исследование функции \( y = x^2 + \frac{25}{х} \) и построение ее графика.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \( x \ne 0 \). Область определения $$D_f= (-\infty; 0) \cup (0;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 0
исследуем точку x= 0. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 0+0} (x^2 + \frac{25}{х}) = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 0-0}(x^2 + \frac{25}{х}) = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 0\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)^2 + \frac{25}{-х} \) функция является ни четной ни нечетной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \(x^2 + \frac{25}{х} = 0 => x^3 +25 = 0 => x = - \sqrt[3]{25} \approx -2,92\). Кривая имеет одну точу пересечения с осью Ox.
Интервалы знакопостоянства функции. На рассматриваемых интервалах \( (-\infty; - 2,92) \cup (- 2,92;0) \cup (0; +\infty)\) кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox , поэтому будем рассматривать на интервалах области определения с учетом этой точки.
Определим знак функции на этих интервалах:
интервал \( (-\infty; -2,92)) \) найдем значение функции в любой точке \( f( -4) = (-4)^2 + \frac{25}{-4} > 0 \), а этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
интервал \( (-2,92;0) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = (-1)^2 + \frac{25}{-1} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox.
интервал \( (0; +\infty)) \) найдем значение функции в любой точке \( f( 5) = 5^2 + \frac{25}{5} > 0 \), а этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: согласно области определения точка \(x \ne 0 \). Точек пересечения с осью Oy нет.
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$ y' = ( x^2 + \frac{25}{х})' = 2x - \frac{25}{х^2} $$ приравняем к 0 $$ 2x - \frac{25}{х^2} = 0 => x = \sqrt[3]{\frac{25}{2}} \approx 2,32$$ Найдем значение функции в этой точке \( f(\sqrt[3]{\frac{25}{2}}) = x^2 + \frac{25}{х} \approx 16,16\). Получили одну критическую точку с координатами \((2,32; 16,16)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку (точек возможного экстремума), поэтому монотонность будем рассматривать на трех интервалах:
интервал \( (-\infty; 0) \) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(-4) = 2x - \frac{25}{х^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((0;2,32)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(1) = 2x - \frac{25}{х^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((2,32; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f'(5) = 2x - \frac{25}{х^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
При исследовании функции получили на интервале области определения одну критическую (стационарную) точку. Определим, является ли она экстремумом. Рассмотрим изменение знака производной при переходе через критическую точку:
точка \(x= 2,32\) производная меняет знак с \( \quad - \quad 0 \quad + \quad\) - точка минимума, а координаты точки минимума (2,32; 16.16).
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (2x -\frac{25}{x^2})' = 2 + \frac{50}{x^3} $$ Приравняем к нулю $$ 2 + \frac{50}{x^3} = 0 => x \approx -2,92 $$ Функция имеет точку перегиба \( x =-2,92\). Определим выпуклость на интервалах области определения с учетом точки возможного перегиба.
интервал \((-\infty; -2,92)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-4) = 2 + \frac{50}{x^3}> 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((-2,92; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = 2 + \frac{50}{x^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = 2 + \frac{50}{x^3} > 0 \), на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Рассмотрим является ли точка \(x = -2,92\) точкой перегиба.
точка \(x= -2,92\) вторая производная меняет знак с \( \quad + \quad 0 \quad - \quad\). Изменение знака указывает на то, что это точка перегиба с координатами (-2,92; 0).
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет одну вертикальную асимптоту \(x =0\) (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= x^2 + \frac{25}{х} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to \infty} (x + \frac{25}{х^2}) = \infty => k= \infty $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ т.к. \(k = \infty\) - наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to \infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}(x^2 + \frac{25}{х})= +\infty$$$$ \lim_{x \to -\infty}( x^2 + \frac{25}{х})= +\infty$$
Горизонтальной асимптоты нет.
9. График функции.
