Это уравнение с разделяющимися переменными вида $$f_1(x)f_2(y)dx + g_1(x)g_2(ydy) =0$$Для его решения в левой части равенства оставим все члены с \(y\), а в правой части уравнения все члены с \(x\), приступаем $$y' - xy^2 = 2xy => y' = 2xy + xy^2 => \frac{dy}{dx} = x(2y + y^2) =>$$$$\frac{dy}{2y + y^2} = xdx$$Дальше проинтегрируем обе части полученного уравнения $$\int \frac{dy}{2y + y^2} = \int xdx \quad (1)$$Отдельно найдем интегралы влевой и правой части уравнения, а результат запишем в уравнение (1).
1. \(\int xdx = \frac{1}{2}x^2 + C\)
2. \(\int \frac{dy}{2y + y^2} = \int \frac{dy}{y(2 + y)}\) Найдем интеграл методом неопределенных коэффициентов $$\frac{1}{y(2 + y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{2+y} $$необходимо найти неизвестные \(A\) и \(B\). Приведем к общему знаменателю правую часть равенства и приравняем числители, получим $$1 = A(2+y) +By$$получили равенство двух многочленов. Как известно, два многочлена будут равны, если равны коэффициенты при неизвестных с равными степенями. В нашем случае есть свободный член (степень неизвестного равна 0) и члены первой степени. $$\quad x^0 \left |\quad 2A = 1 \right .\\\quad \quad x^1 \left |\quad A + B = 1 \right .$$Получили систему уравнений, решим ее $$\begin{cases}2A = 1 \\A + B = 1 \end{cases} =>\begin{cases}A = \frac{1}{2} \\B = -\frac{1}{2} \end{cases}$$Подставляем полученные коэффициенты и получаем $$\frac{1}{y(2 + y)} = \frac{1}{2y} - \frac{1}{2(2+y)}$$теперь осталось найти интеграл $$\int \frac{dy}{2y + y^2} = \int \frac{dy}{y(2 + y)} = \int ( \frac{1}{2y} - \frac{1}{2(2+y)})dy = $$$$ = \int \frac{1}{2y}dy - \int \frac{1}{2(2+y)}dy = \frac{1}{2}\ln|y| - \frac{1}{2}\ln|2+y|$$Интегралы, вычисленные в п.1 и п.2 подставляем в выражение (1) $$\frac{1}{2}\ln|y| - \frac{1}{2}\ln|2+y| = \frac{1}{2}x^2 + C => \ln|y| - \ln|2+y| = x^2 + C => \ln|\frac{y}{2+y}| = x^2 + C$$Из полученного решения осталось выразить \(y\) , через \(x\), т.е. получить явно заданную функцию вида \(y = f(x)\). Для этого проведем потенцирование уравнения $$e^{ \ln|\frac{y}{2+y}|}= e^{x^2 + C} => \frac{y}{2+y} = e^{x^2} e^C$$Обозначим константу \(e^C = C_1\), получим $$\frac{y}{2+y} = e^{x^2}C_1 => y = 2C_1e^{x^2} + yC_1e^{x^2} => $$$$y - yC_1e^{x^2} = 2C_1e^{x^2} => y = \frac{2C_1e^{x^2}}{1 - C_1e^{x^2}}$$
Ответ: \(y = \frac{2C_1e^{x^2}}{1 - C_1e^{x^2}}\)
