Даны векторы а(2;7;3) b(3;1;8) с(2;-7;4) d(16;14;27). Показать, что векторы a b c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.
1. Докажем, что три вектора \(a,b,c\) образуют базис трехмерного пространства.
Три вектора образуют базис, если они линейно независимые, таким образом, если мы составим определитель из координат этих векторов и найдем его, то согласно свойства строк (столбцов) определителя, определитель будет равен нулю, если строки (столбцы) определителя линейно зависимы, если определитель не равен 0, то вектора линейно независимые и образуют базис.
Решение:
Найдем определитель матрицы переходов, составленной из координат векторов \(a,b,c\) $$|A| = \left|\begin{array}{c} 2 & 3 & 2\\ 7 & 1 & -7\\ 3 & 8 & 4\end{array}\right| = 2*1*4+3*3*(-7)+7*8*2-3*1*2-8*-(7)*2-7*3*4 = 79 \ne 0 $$получили, что определитель не равен 0, т.е. векторы линейно независимые и образуют базис \(R^3\).
2. Найдем координаты вектора d=(16;14;27) в этом базисе. Для этого решим линейное матричное уравнение $$Ax=d$$
методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы \((A|d)\)
$$(A|b) = \left(\begin{array}{c} 2 & 3 & 2\\ 7 & 1 & -7\\ 3 & 8 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 16\\ 14\\ 27 \end{array}\right.\right) =$$
путем простейших преобразований приведем матрицу A к единичной:
Прямой ход метода Гаусса
1. Выберем элемент \(a_{11} \) за ведущий. Для простоты расчетов нужно чтобы он был равен 1, можно вычесть из первой строки третью и умножим строку на (-1), получаем
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 5 & 2\\ 7 & 1 & -7\\ 3 & 8 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ 14\\ 27 \end{array}\right.\right) =$$
получили \(a_{11} = 1\)
вычтем из второй строки первую, умноженную на 7.
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 5 & 2\\ 0 & -34 & -21\\ 3 & -13 & 4 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ -63\\ 27 \end{array}\right.\right) =$$
вычтем из третьей строки первую, умноженную на 3
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 5 & 2\\ 0 & -34 & -21\\ 0 & -28 & -2 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ -63\\ -6 \end{array}\right.\right) =$$
разделим третью строку на -2
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 5 & 2\\ 0 & -34 & -21\\ 0 & 14 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ -63\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$
сложим вторую строку с третьей, умноженной на 3
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 5 & 2\\ 0 & 8 & -18\\ 0 & 14 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ -54\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$
разделим вторую строку на 2
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 5 & 2\\ 0 & 4 & -9\\ 0 & 14 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ -27\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$
Все операции проводились для уменьшения цифр в строках. Нам нужно получить \(a_{32} = 0\). Для этого умножим строку 2 на 7, а строку 3 на 2 и вычтем из строки 3 строку 2, получаем
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 5 & 2\\ 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 65 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ -27\\ 195 \end{array}\right.\right) =$$
Разделим строку 2 на 65, получаем
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 5 & 2\\ 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ -27\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$
Прямой ход метода Гаусса закончился, приступаем к обратному ходу.
Выбираем за ведущий элемент \(a_{33} =1\),
умножим третью строку на 9 и сложим со второй строкой
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 5 & 2\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ 0\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$
Разделим строку 2 на 4, получаем
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 5 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ 0\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$
чтобы получить единичную матрицу осталось вычесть из первой строки вторую, умноженную на 5
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 11\\ 0\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$
и вычесть из первой строки третью строку, умноженную на 2
$$= \left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\left|\begin{array}{c} 5\\ 0\\ 3 \end{array}\right.\right) =$$
Получили расширенную матрицу у которой матрица \(A\) - единичная, а матрица $$x =\left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)$$ это есть искомая матрица, координаты вектора \(d\) в базисе \((a;b;c)\)
Ответ: координаты вектора \(d\) в базисе \((a;b;c)\) \(x =\left(\begin{array}{c} 5\\ 0\\ 3 \end{array}\right)\)
