Решиь линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка $$x^2y''+xy'-y=0$$

Решение: решим линейное однородное уравнение второго порядка $x^2y''+xy'-y=0$

В задании дано уравнение вида $y''+p_1(x)y'+p_2(x)y = 0$. Для нахождения решения применим формулу Абеля $$y = C_1y_1(x) + C_2y_1(x) \int \frac{1}{y^2_1(x)}e^{-\int p_1(x)dx}dx \quad (1)$$ Эта формула позволяет по одному известному решению найти общее решение дифференциального уравнения.

Рассмотрим наше уравнение $$x^2y''+xy'-y=0 => y''+\frac{1}{x}y'-\frac{1}{x^2}y=0$$ Отдельно нужно будет проверить решение $x=0$. Из формулы видно. что решение $y_1(x) = x$ - является решением дифференциального уравнения. Проверим это утверждение $$x^2(x)''+x(x)'-x=0 => x-x =0$$

Для формулы Абеля получаем $y_1(x) = x; \quad p_1(x) = \frac{1}{x}; \quad p_2(x) = \frac{1}{x^2}$.  
Подставляем в формулу Абеля (1): $$y _{об} = xC_1 + C_2x \int \frac{1}{x^2}e^{-\int \frac{1}{x}dx}dx \quad (2)$$ Находим интергал   $$\int \frac{1}{x^2}e^{-\int \frac{1}{x}dx}dx = \int \frac{1}{x^2}e^{-ln(x)}dx = \int \frac{1}{x^2*x}dx = -\frac{1}{2}x^{-2}$$ Подставляем в (2)  $$y _{об} = xC_1 + C_2x *( -\frac{1}{2}x^{-2}) => y _{об} = xC_1 - C_2\frac{1}{2x} =>$$ $$y _{об} = xC_1 + \frac{1}{x}C_3$$

Ответ: общее решение дифференциального уравнения  $x^2y''+xy'-y=0$ равно $y _{об} = xC_1 + \frac{1}{x}C_3$