Решение: решим линейное однородное уравнение второго порядка x^2y''+xy'-y=0
В задании дано уравнение вида y''+p_1(x)y'+p_2(x)y = 0. Для нахождения решения применим формулу Абеля y = C_1y_1(x) + C_2y_1(x) \int \frac{1}{y^2_1(x)}e^{-\int p_1(x)dx}dx \quad (1) Эта формула позволяет по одному известному решению найти общее решение дифференциального уравнения.
Рассмотрим наше уравнение x^2y''+xy'-y=0 => y''+\frac{1}{x}y'-\frac{1}{x^2}y=0 Отдельно нужно будет проверить решение x=0. Из формулы видно. что решение y_1(x) = x - является решением дифференциального уравнения. Проверим это утверждение x^2(x)''+x(x)'-x=0 => x-x =0
Для формулы Абеля получаем y_1(x) = x; \quad p_1(x) = \frac{1}{x}; \quad p_2(x) = \frac{1}{x^2}.
Подставляем в формулу Абеля (1): y _{об} = xC_1 + C_2x \int \frac{1}{x^2}e^{-\int \frac{1}{x}dx}dx \quad (2) Находим интергал \int \frac{1}{x^2}e^{-\int \frac{1}{x}dx}dx = \int \frac{1}{x^2}e^{-ln(x)}dx = \int \frac{1}{x^2*x}dx = -\frac{1}{2}x^{-2} Подставляем в (2) y _{об} = xC_1 + C_2x *( -\frac{1}{2}x^{-2}) => y _{об} = xC_1 - C_2\frac{1}{2x} => y _{об} = xC_1 + \frac{1}{x}C_3
Ответ: общее решение дифференциального уравнения x^2y''+xy'-y=0 равно y _{об} = xC_1 + \frac{1}{x}C_3