Найти: общее решение системы дифференциальных уравнений $$ \begin{cases} \frac{dx_1}{dt}=3x_1+x_2 \\ \frac{dx_2}{dt}=-4x_1-2x_2\end{cases}$$
Решение: будем решать систему дифференциальных уравнений методом приведения к уравнению высшего порядка.
Алгоритм решения системы линейный дифференциальных уравнений методом приведения к уравнению высшего порядка.
1. Возьмем первое дифференциальное уравнение и выразим одну из переменных $$ \frac{dx_1}{dt}=3x_1+x_2 => x_2 = \frac{dx_1}{dt} - 3x_1 \quad (1)$$
2. Дифференцируем по \(t\) обе части полученного уравнения $$ \frac{dx_2}{dt} = \frac{d^2x_1}{dt^2} - 3\frac{dx_1}{dt} \quad (2)$$ Подставляем (1) и (2) во второе уравнение системы уравнений $$ \frac{dx_2}{dt} = -4x_1-2x_2 => $$$$ \frac{d^2x_1}{dt^2} - 3\frac{dx_1}{dt} = -4x_1-2(\frac{dx_1}{dt} - 3x_1) =>$$ $$ \frac{d^2x_1}{dt^2} - \frac{dx_1}{dt} = 2x_1 =>$$ Получили однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами \(x''_1 - x'_1 - 2x_1 = 0\)
3. Решаем однородное уравнение \( x''_1 - x'_1 - 2x_1 = 0\)
Решение будем искать в виде \(x_1 = e^{λt}\), тогда \(x'_1 = λe^{λt}; \quad y'' = λ^2e^{λt}\). Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$ λ^2e^{λt} - λe^{λt} - 2e^{λt}= 0 =>$$ сокращаем на \(e^{λt}\), получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)$$λ^2 - λ -2 = 0 =>$$ найдем корни характеристического уравнения $$ λ_{1} = -1; \quad λ_{2} = 2 $$ Получили действительные корни им соответствуют два решения $$x_{λ_1} = e^{λ_1t} = e^{-t}; \quad x_{λ_2} = e^{λ_2t} = e^{2t} $$ Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения \(x_1 = e^{-t}\) и \(x_1 = e^{2t}\).
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация $$ x_1(t) = C_1 e^{-t} + C_2e^{2t} $$
4. Решаем второе дифференциальное уравнение \( \frac{dx_2}{dt}=-4x_1 - 2x_2 \)
Подставляем, полученное решение для \(x_1(t)\) в (1). Предварительно найдем производную \( x'_1(t) = -C_1 e^{-t} + 2C_2e^{2t} \) получаем $$ x_2 = \frac{dx_1}{dt} - 3x_1 => x_2 = x'_1 - 3x_1 =>$$$$ x_2 =-C_1 e^{-t} + 2C_2e^{2t} - 3(C_1 e^{-t} + C_2e^{2t}) =>$$$$ x_2 = -4C_1 e^{-t} - C_2e^{2t} $$
5. Получаем общее решение системы дифференциальных уравнений $$ \begin{cases} x_1 = C_1 e^{-t} + C_2e^{2t} \\ x_2 = -4C_1 e^{-t} - C_2e^{2t} \end{cases} $$
