Найти: общее решение системы дифференциальных уравнений \begin{cases} \frac{dx_1}{dt}=3x_1+x_2 \\ \frac{dx_2}{dt}=-4x_1-2x_2\end{cases}
Решение: будем решать систему дифференциальных уравнений методом приведения к уравнению высшего порядка.
Алгоритм решения системы линейный дифференциальных уравнений методом приведения к уравнению высшего порядка.
1. Возьмем первое дифференциальное уравнение и выразим одну из переменных \frac{dx_1}{dt}=3x_1+x_2 => x_2 = \frac{dx_1}{dt} - 3x_1 \quad (1)
2. Дифференцируем по t обе части полученного уравнения \frac{dx_2}{dt} = \frac{d^2x_1}{dt^2} - 3\frac{dx_1}{dt} \quad (2) Подставляем (1) и (2) во второе уравнение системы уравнений \frac{dx_2}{dt} = -4x_1-2x_2 => \frac{d^2x_1}{dt^2} - 3\frac{dx_1}{dt} = -4x_1-2(\frac{dx_1}{dt} - 3x_1) => \frac{d^2x_1}{dt^2} - \frac{dx_1}{dt} = 2x_1 => Получили однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами x''_1 - x'_1 - 2x_1 = 0
3. Решаем однородное уравнение x''_1 - x'_1 - 2x_1 = 0
Решение будем искать в виде x_1 = e^{λt}, тогда x'_1 = λe^{λt}; \quad y'' = λ^2e^{λt}. Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение λ^2e^{λt} - λe^{λt} - 2e^{λt}= 0 => сокращаем на e^{λt}, получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)λ^2 - λ -2 = 0 => найдем корни характеристического уравнения λ_{1} = -1; \quad λ_{2} = 2 Получили действительные корни им соответствуют два решения x_{λ_1} = e^{λ_1t} = e^{-t}; \quad x_{λ_2} = e^{λ_2t} = e^{2t} Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения x_1 = e^{-t} и x_1 = e^{2t}.
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация x_1(t) = C_1 e^{-t} + C_2e^{2t}
4. Решаем второе дифференциальное уравнение \frac{dx_2}{dt}=-4x_1 - 2x_2
Подставляем, полученное решение для x_1(t) в (1). Предварительно найдем производную x'_1(t) = -C_1 e^{-t} + 2C_2e^{2t} получаем x_2 = \frac{dx_1}{dt} - 3x_1 => x_2 = x'_1 - 3x_1 => x_2 =-C_1 e^{-t} + 2C_2e^{2t} - 3(C_1 e^{-t} + C_2e^{2t}) => x_2 = -4C_1 e^{-t} - C_2e^{2t}
5. Получаем общее решение системы дифференциальных уравнений \begin{cases} x_1 = C_1 e^{-t} + C_2e^{2t} \\ x_2 = -4C_1 e^{-t} - C_2e^{2t} \end{cases}
