Рішення : дані функції пропозиції \(y = \frac {x ^ 2 +144} {4x-36} \) та попиту \(y = \frac {12x + 6492} {x ^ 2 -11} \)
Знайдемо ціле значення ціни одиниці продукції, при якій пропозиція та попит врівноважуються:
Ціна (\(x \)) при якій пропозиція і попит врівноважуються - точка перетину кривих пропозиції і попиту. Для знаходження (\(x \)) ціни одиниці продукції вирішимо рівняння $$ \frac {x ^ 2 +144} {4x-36} =  \frac {12x + 6492} {x ^ 2 -11} = > $$$$ \begin {cases} \frac {x ^ 2 +144} {4x-36} = \frac {12x + 6492} {x ^ 2 -11} \\4x-36 \ne 0 \\x ^ 2 -11 \ne 0 \end {cases} = > $$$$ \begin {cases} x ^ 4 + 85x ^ 2 - 25536x + 232128 = 0 \\x \ne 9 \\x \ne \pm \sqrt {11} \end {cases} => $$ Отримали многочлен четвертого ступеня з цілими коефіцієнтами, згідно умови, цей многочлен має цілий корінь. 

Застосуємо теорему: Якщо всі коефіцієнти многочлена: \(f (x) = a_0x_n + a_1x_ {n-1} + a_2x_ {n-2} + ... + a_ {n-2 } x_2 + a_ {n-1} x + a_n \) є цілими числами, то всякий цілий корінь цього многочлена є дільником вільного члена \(a_n \) 

В отриманому многочлене вільний член \(a_4 = 232 128 \). Дільниками вільного члена є числа \(\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 6; \pm 8; \pm 9; \pm 12; \pm 13; \pm 16 ; \pm 18; \pm 24; \quad ... \)
Підставляємо по черзі числа в многочлен і знаходимо цілий корінь.
Так як ми шукаємо ціну одиниці продукції, то перевіряємо тільки позитивні подільники
\(x = 1: \quad \quad 1 ^ 4 + 85 * 1 ^ 2 - 25536 * 1 + 232128 \ne 0 \) - не корінь 
\(x = 2: \quad \quad 2 ^ 4 + 85 * 2 ^ 2 - 25536 * 2 + 232 128 \ne 0 \) - не корінь  
\(x = 3: \quad \quad 3 ^ 4 + 85 * 3 ^ 2 - 25536 * 3 + 232128 \ne 0 \) - не корінь 
\(x = 4: \quad \quad 4 ^ 4 +85 * 4 ^ 2 - 25536 * 4 + 232128 \ne 0 \) - не корінь 
\(x = 6: \quad \quad 6 ^ 4 + 85 * 6 ^ 2 - 25536 * 6 + 232128 \ne 0 \) - не корінь 
\(x = 8: \quad \quad 8 ^ 4 + 85 * 8 ^ 2 - 25536 * 8 + 232128 \ne 0 \) - не корінь 
\(x = 9: \quad \quad 9 ^ 4 + 85 * 9 ^ 2 - 25536 * 9 + 232128 \ne 0 \) - не корінь 
\(x = 12: \quad \quad 12 ^ 4 + 85 * 12 ^ 2 - 25536 * 12 + 232128 \ne 0 \) - не корінь 
\(x = 13: \quad \quad 13 ^ 4 + 85 * 13 ^ 2 - 25536 * 13 + 232128 \ne 0 \) - не корінь 
\( x = 16: \quad \quad 16 ^ 4 + 85 * 16 ^ 2 - 25536 * 16 + 232128 \ne 0 \) - не корінь 
\(x = 18: \quad  \quad 18 ^ 4 + 85 * 18 ^ 2 - 25536 * 18 + 232128 \ne 0 \) - не корінь 
\(x = 24: \quad \quad 24 ^ 4-59 * 24 ^ 2-134 * 24 + 752 = 0 \) - корінь 

Т.я. функція четвертого ступеня \(y = x ^ 4 + 85x ^ 2 - 25536x + 232128 \) при x > 24 монотонно зростає, тобто перевіряти інші подільники немає сенсу (можна в цьому переконатися) 

Відповідь: ціле значення ціни одиниці продукції, при якій пропозиція і попит врівноважуються \(x = 24 \) 

2. Визначимо еластичність пропозиції і попиту в точці \(x = 24 \)

Еластичність в точці (точкова еластичність) використовується в тому випадку, коли задана функція попиту (пропозиції) і вихідний рівень ціни і величини попиту (або пропозиції). Дана формула характеризує відносну зміну обсягу попиту (або пропозиції) при нескінченно малій зміні ціни (або будь-якого іншого параметра)
Знаходиться еластичність в точці за формулою $$ E = Q '(x) \frac {x} {Q (x)} \quad (1) $$ де
\(Q '(x) \) - похідна від функції пропозиції (попиту)
\(x \) - ринкова ціна
\(Q (x) \) - функція пропозиції (попиту) при ринковій ціні.

Оцінимо еластичність пропозиції при ціні \(x = 24 \)
Знайдемо відсутні параметри формули (1)
\(x = 24 \) - ринкова ціна в заданій точці
\(Q (x) = \frac {x ^ 2 +144} {4x-36} = > Q (24) = \frac {24 ^ 2 +144} {4 * 24-36} = 12 \) - значення функції пропозиції при заданій ринковій ціні.
\(Q '(x) = (\frac {x ^ 2 nbsp ; +144} {4x-36}) '= \frac {x ^ 2-18x-144} {4 (x-9) ^ 2} \) = > \(Q '(24) = \frac {x ^ 2-18x-144} {4 (x-9) ^ 2} = 0 \) - значення функції пропозиції при заданій ринковій ціні. 

Підставляємо в формулу (1) $$ E_ {проп} (24) = Q '(24) \frac {24} {Q (24)} = 0 \frac {24} {12} = 0 $$
Відповідь: Економічний сенс отриманого значення полягає в тому, що зміна ціни на 1% щодо початкової ціни x = 24 призведе до зміни величини пропозиції на 0%. Отримали \(E = 0 \), або абсолютна не еластичність, коли зміна будь-якого параметра ринкової кон'юнктури не впливає на величину даного чинника (зміна ціни не впливає на пропозицію, графік кривої в околиці цієї точки паралельний осі ціни - x).

3. Оцінимо еластичність попиту при ціні \(x = 24 \)
Знайдемо відсутні параметри формули (1)
\(x = 24 \) - ринкова ціна в заданій точці
\(Q (x) = \frac {12x + 6492} {x ^ 2 -11} = > Q (24) = \frac {12 * 24 + 6492} {24 ^ 2 -11} = 12 \) - значення функції попиту при заданій ринковій ціні.
\(Q '(x) = (\frac {12x + 6492} { x ^ 2 -11}) '= -12 \frac {x ^ 2 + 1082x + 11} {(x ^ 2-11) ^ 2} \) = > \(Q '(24) = -12 \frac {24 ^ 2 + 1082 * 24 + 11} {(24 ^ 2-11) ^ 2} \approx -0.998 \) - значення функції попиту при заданої ринковою ціною. 

Підставляємо в формулу (1) $$ E_ {попит} (24) = Q '(24) \frac {24} {Q (24)} = -0.998 \frac {24} {12} \approx -2 $$

Відповідь : Економічний сенс отриманого значення полягає в тому, що зміна ціни на 1% щодо початкової ціни x = 24 призведе до зміни величини попиту на -2%. \(| E | > 1 \), або еластичний попит, коли параметр зростає більш високими темпами, ніж змінюється інший фактор.