Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка \( y''+2y'-3y=(x^2+2x-3)e^x\).
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение \( y''+2y'-3y = 0\)
Решение будем искать в виде \(y = e^{λx}\), тогда \(y' = λe^{λx}; \quad y'' = λ^2e^{λx}\). Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$ λ^2e^{λx} + 2λe^{λx} - 3e^{λx}= 0 =>$$ сокращаем на \(e^{λx}\), получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)$$λ^2 + 2λ -3 = 0 =>$$ найдем корни характеристического уравнения $$ λ_{1} = -3; \quad λ_{2} = 1 $$ Получили действительные корни им соответствуют два решения $$y_{λ_1}(x) = e^{λ_1x} = e^{-3x}; \quad y_{λ_2}(x) = e^{λ_2x} = e^{x} $$ Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения \(y_1(x) = e^{-3x}\) и \(y_2(x) = e^{x}\).
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация $$y_{одн} = C_1 e^{-3x} + C_2e^{x} $$
2. Решаем неоднородное уравнение\( y''+2y'-3y=(x^2+2x-3)e^x \)
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной \(C_1=C_1(x); \quad C_2=C_2(x)\) в виде \(y_{част}(x) = C_1(x) e^{-3x} + C_2(x)e^{x} \quad (1)\).
Для нахождения функций \(C_1(x);C_2(x)\), подставим результаты в систему $$ \begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}$$ Из уравнения видно, что \(b(x) = (x^2+2x-3)e^x; \quad a_0(x) = 1\). Из однородного решения получаем, что \(y_1(x) = e^{-3x}; \quad y_2(x) = e^{x} \) подставляем в систему $$ \begin{cases} C'_1(x)e^{-3x} + C'_2(x)e^{x} = 0\\ C_1'(x)(-3e^{-3x}) + C_2'(x)e^{x} = (x^2+2x-3)e^x \end{cases} => $$ решаем систему уравнений $$\begin{cases} C'_2(x) = -C'_1(x)e^{-4x} \\ -3C_1'(x) + C_2'(x)e^{4x} = (x^2+2x-3)e^{4x} \end{cases} =>$$$$\begin{cases} C'_2(x) = -C'_1(x)e^{-4x} \\ -3C_1'(x) - C'_1(x)e^{-4x}e^{4x} = (x^2+2x-3)e^{4x} \end{cases} =>$$$$\begin{cases} C'_2(x) = -C'_1(x)e^{-4x} \\ -4C_1'(x) = (x^2+2x-3)e^{4x} \end{cases} =>$$ $$ \begin{cases} C'_2(x) = \frac{1}{4}(x^2+2x-3) \\ C_1'(x) = -\frac{1}{4}(x^2+2x-3)e^{4x} \end{cases} => $$ Интегрируем полученные решения системы уравнений и получим искомые функции $$\begin{cases} \int C'_2(x)dx = \frac{1}{4} \int (x^2+2x-3)dx \\ \int C_1'(x)dx = -\frac{1}{4} \int (x^2+2x-3)e^{4x}dx \end{cases} => $$$$\begin{cases} C_2(x) = \frac{1}{4}( \frac{x^3}{3} +x^2 -3x) \\ C_1(x)= -\frac{1}{4} \frac{1}{32} e^{4x}(8x^2 + 12x - 27) \end{cases} $$
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
$$y_{неодн} = - \frac{1}{128} (8x^2 + 12x - 27) e^{x} + \frac{1}{4}( \frac{x^3}{3} +x^2 -3x)e^{x}=> e^x ( \frac{1}{12}x^3 +\frac{3}{16}x^2 -\frac{27}{32}x + \frac{27}{128})$$
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения вида \(y_{об} = y_{одн} +y_{неодн} \)
подставляем результаты из п.1,п.2 $$y_{об} =C_1e^{-3x}+ C_2e^{x} + e^x (\frac{1}{12}x^3 +\frac{3}{16}x^2 -\frac{27}{32}x + \frac{27}{128}) =>$$$$y_{об} =C_1e^{-3x}+ C_3e^{x} + e^x ( \frac{1}{12}x^3 +\frac{3}{16}x^2 -\frac{27}{32}x) $$
Ответ: решение дифференциального уравнения \( y''+2y'-3y=(x^2+2x-3)e^x \) равно \(y_{об} = C_1e^{-3x}+ C_3e^{x} + e^x ( \frac{1}{12}x^3 +\frac{3}{16}x^2 -\frac{27}{32}x) \)
