Довести, що вектори a,b,c утворюють базис. Знайти Координати вектора d в цьому базисi.

1. Доведемо, що три вектори \(a, b, c \) з координатами a (28; 3; -1) b (35; 0; 4) c (14; 1; 2) утворюють базис тривимірного простору.

Три вектора утворюють базис, якщо вони лінійно незалежні, таким чином, якщо ми складемо визначник з координат цих векторів і знайдемо його, то згідно властивості рядків (стовпців) визначника, визначник дорівнюватиме нулю, якщо рядки (стовпці) визначника лінійно залежні, якщо визначник НЕ дорівнює 0, то вектори лінійно незалежні і утворюють базис.

Рішення:
Знайдемо визначник матриці переходів, складеної з координат векторів \(a, b, c \) $$ | A | = \left | \begin {array} {c} 28 & 35 & 14 \\ 3 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end {array} \right | = $$ Для спрощення розрахунків виятем з першого столюца третій помножений на 3, отримуємо $$ = \left | \begin {array} {c} 0 & 35 & 14 \\ 1 & 0 & 1 \\ -5 & 4 & 2 \end {array} \right | = 0 * 0 * 2 + 35 * 1 * (- 5) + 1 * 4 * 14 - (- 5) * 0 * 14-4 * 1 * 0-1 * 35 * 2 = -189 \ne 0 $$ отримали, що визначник не дорівнює 0, тобто вектори лінійно незалежні і утворюють базис \(R^3 \).

2. Знайдемо координати вектора d (0; 12; -6) в цьому базисі.
Для цього вирішимо лінійне матричне рівняння $$ Ax = d $$
методом Гаусса
Складемо розширену матрицю системи \((A | d) \)
$$ (A | b) = \left (\begin {array} {c} 28 & 35 & 14 \\ 3 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end {array} \left | \begin {array} {c} 0 \\ 12 \\ -6 \end {array} \right. \right) = $$
шляхом найпростіших перетворень наведемо матрицю A до одиничної:

Прямий хід методу Гаусса
1. Виберемо елемент \(a_ {11} \) за провідний.
Для простоти розрахунків потрібно щоб він дорівнював 1, можна відняти з першого рядка і другу, яку помножимо на 9, отримуємо
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 3 & 0 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end {array} \left | \begin {array} {c} -108 \\ 12 \\ -6 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {21} = 0 \), для цього складемо другий рядок і третю, яку помножимо на 3
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 7 \\ -1 & 4 & 2 \end {array} \left | \begin {array} {c} -108 \\ -6 \\ -6 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {31} = 0 \), для цього складемо третій рядок і першу
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 7 \\ 0 & 39 & 7 \end {array} \left | \begin {array} {c} - 108 \\ -6 \\ -114 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {32} = 0 \), для цього віднімемо від третього рядка другу, помножену на 3
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 7 \\ 0 & 3 & -14 \end {array} \left | \begin {array} {c} -108 \\ -6 \\ -96 \end {array} \right. \right) = $$
помножимо третій рядок на 4 а віднімемо з неї рядок 3
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 7 \\ 0 & 0 & -63 \end {array} \left | \begin {array} {c} -108 \\ -6 \\ -378 \end {array} \right. \right) = $$
розділимо третій рядок на -63
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \left | \begin {array} {c} - 108 \\ -6 \\ 6 \end {array} \right. \right) = $$

Прямий хід методу Гаусса закінчився, приступаємо до зворотного ходу.

отримаємо \(a_ {23} = 0 \), для цього віднімемо від другого рядка третій рядок, яку помножимо на 7
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \left | \begin {array} {c} - 108 \\ -48 \\ 6 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {22} = 1 \), для цього розділимо другий рядок на 12
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 35 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \left | \begin {array} {c} - 108 \\ -4 \\ 6 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {12} = 0 \), для цього віднімемо від першого рядка другу, яку помножимо на 35
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \left | \begin {array} {c} 32 \\ -4 \\ 6 \end {array} \right. \right) = $$
отримаємо \(a_ {13} = 0 \), для цього віднімемо від першого рядка третю, яку помножимо на 5
$$ = \left (\begin {array} {c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \left | \begin {array} {c} 2 \\ -4 \\ 6 \end {array} \right. \right) = $$
Отримали розширену матрицю у якій матриця \(A \) - одинична, а матриця $$ x = \left (\begin {array} {c} 2 \\ -4 \\ 6 \end {array} \right) $$
це є шукана матриця, координати вектора \(d \) в базисі \((a; b; c) \)

Відповідь: координати вектора \(d (0; 12; -6) \) в базисі \((a; b; c) \) \(x = \left (\begin {array} {c} 2 \\ -4 \\ 6 \end {array} \right) \)