Найдем частные производные первого порядка от сложной функции двух переменных. Их будет две это \(z'_x\) и \( z'_y\). При нахождении производной \(z'_x\) будем считать \(y = const\) $$z'_x = (\sqrt{2ху+у^2})'_x = \frac{1}{2}(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}*2y = y*(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}$$Аналогисно ищем частную производную \(z'_y\) при этом будем считать \(x=const\) $$z'_y = (\sqrt{2ху+у^2})'_x = \frac{1}{2}(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}*(2x+2y)=(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}*(x+y)$$
Найдем частные произвоные второго порядка. Их будет 4, т.е. находим частные производные по \(x\) и \(y\) от полученных частных производных \(z'_x\) и \(z'_y\). Найдем \(z^{(2)}_{xx}=(z'_x)'_x\) при этом \(y = const\) $$z^{(2)}_{xx} = (z'_x)'_x = (y*(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}})'_x=-\frac{1}{2}y*(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}-1}*2y=-y^2*(2ху+у^2)^{-\frac{3}{2}}$$Найдем \(z^{(2)}_{xy}=(z'_x)'_y\) при этом \(x = const\) $$z^{(2)}_{xy} = (z'_x)'_y = (y*(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}})'_y=(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}- \frac{1}{2}y*(2ху+у^2)^{-\frac{3}{2}}*(2x+2y) =$$$$= \frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{1}{2}}} - y*\frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}*(x+y) = $$$$ = \frac{2xy+y^2-xy-y^2}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{xy}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}} $$Найдем \(z^{(2)}_{yx}=(z'_y)'_x \) при этом \(y = const\) $$z^{(2)}_{yx} = (z'_y)'_x =((2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}*(x+y))'_x = -\frac{1}{2}(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}-1}*2y(x+y)+(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}=$$$$=\frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{1}{2}}}-y\frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}(x+y)=\frac{xy}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}} $$обращаю внимание на то, что для дважды дифференцируемых функций смешанніе частные производные равны $$z^{(2)}_{xy}=z^{(2)}_{yx}$$в ходе решения мы получили указанное равенство.
Найдем \(z^{(2)}_{yy}=(z'_y)'_y\) при этом \(x = const\) $$z^{(2)}_{yy} = (z'_y)'_y =((2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}*(x+y))'_y = -\frac{1}{2}(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}-1}*(2x+2y)*(x+y)+(2ху+у^2)^{-\frac{1}{2}}=$$$$= \frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}*(x+y)^2= \frac{2xy+y^2-x^2-2xy-y^2}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}= $$$$ = - \frac{x^2}{(2ху+у^2)^{\frac{3}{2}}}$$
