Дано: рівняння кривої другого порядку \(2x^2+ 3 y^2- 4 x + 6 - 7y = 0\)
1. Запишемо рівняння кривої в канонічному вигляді.
В даному рівнянні є тільки члени другого і першого ступеня (немає змішаного твори), тому канонічне рівняння будемо отримувати методом виділення повного квадрата.
$$ 2x^2+ 3 y^2- 4 x + 6 - 7y = 0 = > $$$$ 2 (x^2 - 2x) + 3 (y^2 - \frac{7}{3}y) +6 = 0 = > $$ доповнюємо члени в дужках до повного квадрата $$ 2 (x^2 - 2x +1-1) + 3 (y^2 - \frac{2}{2}*\frac{7}{3}y + \frac{49}{36} -\frac{49}{36}) +6 = 0 = >$$$$ 2(x-1)^2-2 + 3(y-\frac{7}{6})^2 - \frac{49}{12} +6 = 0 = >$$$$ 2(x-1)^2 + 3(y-\frac{7}{6})^2 - \frac{1}{12} = 0 $$ Отримали рівняння еліпса. Як відомо канонічне рівняння еліпса $$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ помножим рівняння на 12 $$ 24(x-1)^2 + 36(y-\frac{7}{6})^2 =1 => $$ $$ \frac{(x-1)^2}{ (\frac{1}{2\sqrt{6}})^2} + \frac{(y-\frac{7}{6})^2}{(\frac{1}{6})^2} =1 =>\quad (1) $$
Отримали рівняння еліпса.
2. Знайти координати фокусів, центру.
Розглянемо отримане рівняння еліпса. \( \frac{(x-1)^2}{ (\frac{1}{2\sqrt{6}})^2} + \frac{(y-\frac{7}{6})^2}{(\frac{1}{6})^2} =1\) з рівняння видно, що координата центру еліпса \(O (1; \frac{7}{6})\) => \(O (1; 1.167)\).
Також з рівняння визначимо півосі еліпса \(a = \frac{1}{2\sqrt{6}} \) і \(b = \frac{1}{6} \).
Знайдемо координати фокусів. Визначимо, на якій осі лежить фокальна вісь \(F_1F_2 \). Т.я. \( a > b \), то фокальна вісь лежить на (уздовж) осі Ox, тому координати фокусів будуть наступними: \(F_1(-c+x_0; 0 +y_0) \) і \(F_2 (c+x_0; 0+y_0) \), де \(c = \sqrt{a ^ 2-b ^ 2} => \) $$c = \sqrt{(\frac{1}{2\sqrt{6}})^2 - (\frac{1}{6})^2 } = \sqrt {\frac{1}{24} - \frac{1}{36}} = \frac{\sqrt{2}}{12} $$ де \((x_0;y_0)\) - координати центру еліпса \(O (1; \frac{7}{6})\).
Координати фокусів будуть наступні \(F_1 (- \frac{\sqrt{2}}{12} +1; 0 +\frac{7}{6}) \) і \(F_2 ( \frac{\sqrt{2}}{12}+1; 0 + \frac{7}{6}) \) => \(F_1 ( 0.88; 1.167) \) і \(F_2 ( 1.118; 1.167) \).
3. Знайти ексцентриситет еліпса.
Ексцентриситет еліпса розраховується за формулою \( \epsilon = \frac{c}{a} \) => \( \epsilon = \frac{\frac{ \sqrt{2}}{12}}{\frac{1}{2\sqrt{6}}} = \frac{1}{ \sqrt{3}} \)
4. Директриса еліпса.
Якщо еліпс визначено рівнянням \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) і \( a > b\), то прямі \( x = \frac{a}{\epsilon}; \quad x = -\frac{a}{\epsilon}\) називаються директрисами еліпса
якщо \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) і \( a < b\), то директриси визначаються рівняннями \( y = \frac{b}{\epsilon}; \quad y = -\frac{b}{\epsilon}\)
З урахуванням зсуву центра еліпса отримуємо: \( x = \frac{a}{\epsilon} + x_0; \quad x = -\frac{a}{\epsilon} +x_0\) $$ x = \frac{a}{\epsilon} + 1; \quad x = -\frac{a}{\epsilon} +1 $$
Підставляємо значення і отримуємо рівняння директриси: \( x = \frac{a}{\epsilon} +1= \frac{\frac{1}{2 \sqrt{6}}}{\frac{1}{ \sqrt{3}}} +1 = 1+ \frac{1}{2 \sqrt{2}}; \quad x = 1- \frac{1}{2 \sqrt{2}}\)
5. Будуємо малюнок:
