Дано: рівняння кривої другого порядку 2x^2+ 3 y^2- 4 x + 6 - 7y = 0
1. Запишемо рівняння кривої в канонічному вигляді.
В даному рівнянні є тільки члени другого і першого ступеня (немає змішаного твори), тому канонічне рівняння будемо отримувати методом виділення повного квадрата.
2x^2+ 3 y^2- 4 x + 6 - 7y = 0 = >
2 (x^2 - 2x) + 3 (y^2 - \frac{7}{3}y) +6 = 0 = >
доповнюємо члени в дужках до повного квадрата
2 (x^2 - 2x +1-1) + 3 (y^2 - \frac{2}{2}*\frac{7}{3}y + \frac{49}{36} -\frac{49}{36}) +6 = 0 = >
2(x-1)^2-2 + 3(y-\frac{7}{6})^2 - \frac{49}{12} +6 = 0 = >
2(x-1)^2 + 3(y-\frac{7}{6})^2 - \frac{1}{12} = 0
Отримали рівняння еліпса. Як відомо канонічне рівняння еліпса
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
помножим рівняння на 12
24(x-1)^2 + 36(y-\frac{7}{6})^2 =1 =>
\frac{(x-1)^2}{ (\frac{1}{2\sqrt{6}})^2} + \frac{(y-\frac{7}{6})^2}{(\frac{1}{6})^2} =1 =>\quad (1)
Отримали рівняння еліпса.
2. Знайти координати фокусів, центру.
Розглянемо отримане рівняння еліпса. \frac{(x-1)^2}{ (\frac{1}{2\sqrt{6}})^2} + \frac{(y-\frac{7}{6})^2}{(\frac{1}{6})^2} =1 з рівняння видно, що координата центру еліпса O (1; \frac{7}{6}) => O (1; 1.167).
Також з рівняння визначимо півосі еліпса a = \frac{1}{2\sqrt{6}} і b = \frac{1}{6} .
Знайдемо координати фокусів. Визначимо, на якій осі лежить фокальна вісь F_1F_2 . Т.я. a > b , то фокальна вісь лежить на (уздовж) осі Ox, тому координати фокусів будуть наступними: F_1(-c+x_0; 0 +y_0) і F_2 (c+x_0; 0+y_0) , де c = \sqrt{a ^ 2-b ^ 2} => c = \sqrt{(\frac{1}{2\sqrt{6}})^2 - (\frac{1}{6})^2 } = \sqrt {\frac{1}{24} - \frac{1}{36}} = \frac{\sqrt{2}}{12}
де
(x_0;y_0) - координати центру еліпса
O (1; \frac{7}{6}).
Координати фокусів будуть наступні F_1 (- \frac{\sqrt{2}}{12} +1; 0 +\frac{7}{6}) і F_2 ( \frac{\sqrt{2}}{12}+1; 0 + \frac{7}{6}) => F_1 ( 0.88; 1.167) і F_2 ( 1.118; 1.167) .
3. Знайти ексцентриситет еліпса.
Ексцентриситет еліпса розраховується за формулою \epsilon = \frac{c}{a} => \epsilon = \frac{\frac{ \sqrt{2}}{12}}{\frac{1}{2\sqrt{6}}} = \frac{1}{ \sqrt{3}}
4. Директриса еліпса.
Якщо еліпс визначено рівнянням \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 і a > b, то прямі x = \frac{a}{\epsilon}; \quad x = -\frac{a}{\epsilon} називаються директрисами еліпса
якщо \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 і a < b, то директриси визначаються рівняннями y = \frac{b}{\epsilon}; \quad y = -\frac{b}{\epsilon}
З урахуванням зсуву центра еліпса отримуємо: x = \frac{a}{\epsilon} + x_0; \quad x = -\frac{a}{\epsilon} +x_0 x = \frac{a}{\epsilon} + 1; \quad x = -\frac{a}{\epsilon} +1
Підставляємо значення і отримуємо рівняння директриси: x = \frac{a}{\epsilon} +1= \frac{\frac{1}{2 \sqrt{6}}}{\frac{1}{ \sqrt{3}}} +1 = 1+ \frac{1}{2 \sqrt{2}}; \quad x = 1- \frac{1}{2 \sqrt{2}}
5. Будуємо малюнок:
