Рассмотрим условие задачи. Проводится \(n\) независимым испытаний (неизвестная) при которых некоторое событие \(AA\) - попадание юнита \(A\) по юниту \(B\) происходит с постоянной вероятностью \(p(AA) = 0,75, q(AA) = 0,25\) при этом необходимо, чтобы это событие наступило \(m\) раз, где \(m\) - число попаданий первого юнита по второму, при котором второй погибает. Для юнита \(A\) получаем \(m_A = 90/10=9\). Аналогично известно и про юнит \(B\): \(p(BB) = 0,82, q(BB) = 0,18\), \(m_B=100/8=12,5 => m_B=13\). Число \(m_B\) было округленно в большую сторону,т.к. число попаданий может быть только целым числом. Все описанное выше указывает на необходимость применения формулы Бернулли: $$P_n^m = C_n^mp^m(1-p)^{n-m}$$Чтобы рассчитать вероятности необходимо найти \(n\) - число испытаний. Для нахождения этого числа воспользуемся формулой наивероятнейшего числа наступления события при повторении испытаний. $$np-q\leq m \leq np+p$$При этом число \(m\) известно и равно для юнита \(A \) - \(m_A = 9\), а для \(B\) - \(m_B = 13\). Из этой формулы нам необходимо найти \(n\). Юнит \(A\). Известно \(p(AA)=0,75, q(AA)=0,25, m=9 \)=>$$n_A*0,75-0,25 \leq 9 \leq n_A*0,75+0,75 => \begin{cases}n_A*0,75-0,25\leq 9 \\ 9 \leq n_A*0,75+0,75 \end{cases}=>$$$$\begin{cases}n_A \leq 12,333 \\ 11 \leq n_A \end{cases}=>11 \leq n_A \leq 12,333$$Аналогично рассчитаем второго юнита Юнит \(B\). Известно \(p(BB)=0,82, q(BB)=0,18, m=13 \)=>$$n_B*0,82-0,18\leq 13 \leq n_B*0,82+0,82 =>\begin{cases}n_B*0,82-0,18\leq 13 \\ 13 \leq n_B*0,82+0,82\end{cases}=>$$$$\begin{cases}n_B \leq 14,85 \\ 12,33 \leq n_B \end{cases}=>12,33 \leq n_B \leq 14,85$$Таким образом мы рассчитали число испытаний для обоих юнитов. Выберем наибольшее число из \(n_A\) и \(n_B\), т.к. нам необходимо число испытаний при которых наступит оба события - победил юнит \(A\) или \(B\), а затем выберем наименьшее целое число испытаний \(n_B = n = 13\), т.к. это число ближе к \(m_B\). Теперь рассчитаем вероятности: 1) вероятность победы юнита \(A\). Эту вероятность рассчитаем по формуле Бернулли $$P(A)_{13}^9 = C_{13}^9*0,75^9(1-0,75)^{13-9} = 0,21$$ 2) вероятность победы юнита \(B\). Эту вероятность рассчитаем по формуле Бернулли $$P(B)_{13}^{13} = C_{13}^{13}*0,82^{13}(1-0,82)^{13-13} = 0,82^{13} = 0,076$$ 3) вероятность одновременной смерти обоих юнитов. Эту вероятность будем искать как вероятность совместного наступления событий - наступила смерть первого и второго юнита. Смерть юнита \(A\) равна \(q = 1- P(A) = 1 - 0,21 = 0,79)\). Смерть юнита \(B\) равна \(q = 1- P(B) = 1 - 0,076 = 0,924)\). Вероятность совместного наступления событий рассчитывается по формуле произведения вероятностей $$P(AB) = P(A)*P(B) = 0,79 * 0,924 = 0,73$$
