Решение: нам нужно разместить вершины треугольника в вершинах 8-угольника. Очень важно - то, что стороны фигур не совпадают. Т.е. вершины треугольника не должны лежать на одной стороне восьмиугольника.
Решать задачу будем путем размещением последовательно вершин и проводить расчет количества этих размещений.
1. размещаем первую вершину A.
Первую вершину можно разместить n_A = 8 способами (во всех вершинах 1,2,3,4,5,6,7,8).
Для дальнейшего анализа рассмотрим случай - вершина A находится в вершине с номером 1
2. размещаем вторую вершину B.
Осталось 7 свободных мест.
Учтем условие задачи: вершины треугольника не должны лежать на одной стороне восьмиугольника, т.е. вершины справа и слева от вершины A, т.е. вершины с номерами 2 и 8 - всегда свободны. Назовем их "пустыми вершинами при вершине A". Осталось свободных 5 вершин с номерами 3,4,5,6,7.
Вторую вершину можно разместить n_B = 5 способами.
3. размещаем третью вершину C.
Рассмотрим размещение вершины B подробнее и определим соответствующее количество способов размещения точки C:
Пусть вершина B находится в точке с номером 3,7. Эти вершины характерны тем, что с одной стороны у них есть "пустая вершина при вершине A", а с другой стороны "пустая вершина при вершине B". В этом случае третью вершину C можно разместить в 5-2 =3 вершинах.
Для этих двух точек применим правило произведения:
Правило произведения: Если объект A можно выбрать из множества объектов m способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать n способами, то пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.
В первом случае у нас есть 2 вершины, в которых размещаем B, т.е. m = 2 и 3 вершины, где размещаем C n=3. В этом случае количество размещений на восьмиугольнике пар вершин BC будет равна n_{BC1} = m*n = 2*3 =6.
Пусть вершина B находится в точке с номером 4,5,6. Эти вершины с обеих сторон должны иметь "пустые вершины при вершине B". В этом случае третью вершину можно разместить в 5-3 =2 вершинах, т.е n_{C2}=2
Для этих двух точек применим правило произведения, получаем у нас есть 3 вершины, в которых размещаем B, т.е. m = 3 и 2 вершины, где размещаем C n=2. В этом случае количество размещений на восьмиугольнике пар вершин BC будет равна n_{BC2} = m*n = 3*2 =6.
Проверяем: количество размещений вершины B в двух рассматриваемых случаях n_B = 2 + 3 = 5 , что соответствует п.2
Для двух этих случаев n_{BC1} = 6, n_{BC2} = 6 применим правило суммы:
Правило суммы: если объект А можно выбрать из множества объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо объект А либо В можно m+n способами.
Получаем n_{BC} = n_{BC1}+ n_{BC2} = 6 + 6 = 12
Получили, что при фиксированном размещении вершины A количество размещений вершин n_{BC} = 12 = m. Вершину A мы можем разместить на восьмиугольнике n_A = n = 8
Для этих двух выборок применим правило произведения и получим количество искомых треугольников: N = m*n = 12*8 = 96
Ответ: существует n=96 треугольников, вершины которых являются вершинами данного выпуклого 8-угольника, а стороны не совпадают со сторонами этого многоугольника.
