Рассмотрим задачу более подробно. В задаче есть:
1. полная группа несовместных гипотез \(AAAA, BBBB, CCCC\)
2. известна вероятность каждой гипотезы \(p(AAAA) = p_1, p(BBBB) = p_2, p(CCCC) = p_3\), т.к. это полная группа, то сумма их вероятностей равна \(p_1+p_2+p_3 = 1\), действительно подставим значения вероятностей и получим \(p_1+p_2+p_3 = p_1+p_2+(1-p_1-p_2) =1\).
3. производится опыт и в его результате получаем некоторое событие - принята последовательность букв \(АВСА\), при этом вероятность того, что принята правильная буква равна, обозначим ее за \(p(E+) = \alpha\) , а вероятность того, что принята другая буква равна \(p(E-) = \frac{1-\alpha}{2}\).
Я подробно расписал задачу, чтобы было видно, что для ее решения будем применять формулу Бейеса.
Для применения формулы нам понадобится условная вероятность события \(ABCA\) при гипотезах \(AAAA, BBBB, CCCC\). Обозначаются они так p(ABCA/AAAA) - вероятность наступления события \(ABCA\), т.е. была получена последовательность символов \(ABCA\) при гипотезе \(AAAA\), т.е. была отправлена последовательность символов \(AAAA\). Рассчитаем эту вероятность по формуле условной вероятности (произведения вероятностей), получим $$p(ABCA/AAAA) = p(E+)*p(E-)*p(E-)*p(E+) = \alpha*\frac{1-\alpha}{2}*\frac{1-\alpha}{2}*\alpha$$ сравниваем событие и гипотезу, если символы совпадают (1 и 4 символы), то в произведение ставим вероятность \(p(E+)\), если нет (2 и 3 символы), то \(p(E+)\). Аналогично и другие условные вероятности $$p(ABCA/BBBB) = p(E-)*p(E+)*p(E-)*p(E-) = \frac{1-\alpha}{2}* \alpha* \frac{1-\alpha}{2}* \frac{1-\alpha}{2}$$$$p(ABCA/CCCC) = p(E-)*p(E-)*p(E+)*p(E-) = \frac{1-\alpha}{2}* \frac{1-\alpha}{2}* \alpha* \frac{1-\alpha}{2}$$ А теперь озвучим формулу Бейеса: вероятность гипотезы после испытания \(p(AAAA/ABCA)\) (т.е. вероятность того, что отправили \(AAAA\), при известной полученной последовательности \(ABCA\), то что нужно найти по условию задачи) равна произведению вероятностей гипотезы до испытания \(p(AAAA)\) на соответствующую ей условную вероятность события после испытания \(p(ABCA/AAAA)\) получаем \(p(AAAA)*(p(ABCA/AAAA)\), деленную на полную вероятность этого события \(p(AAAA)*p(ABCA/AAAA) + p(BBBB)*p(ABCA/BBBB) + p(CCCC)*p(ABCA/CCCC)\) получили $$p(AAAA/ABCA) = \frac{p(AAAA)*p(ABCA/AAAA)}{p(AAAA)*p(ABCA/AAAA) + p(BBBB)*p(ABCA/BBBB) + p(CCCC)*p(ABCA/CCCC)} =>$$$$p(AAAA/ABCA) = \frac{p_1*\alpha*\frac{1-\alpha}{2}*\frac{1-\alpha}{2}*\alpha}{p_1*\alpha*\frac{1-\alpha}{2}* \frac{1-\alpha}{2}* \alpha + p_2*\frac{1-\alpha}{2}* \alpha* \frac{1-\alpha}{2}* \frac{1-\alpha}{2} + p_3* \frac{1-\alpha}{2}* \frac{1-\alpha}{2}* \alpha* \frac{1-\alpha}{2}} =>$$ Проведем некоторые упрощения - сократим числитель и знаменатель на \(\alpha* \frac{1-\alpha}{2}* \frac{1-\alpha}{2}\) =>$$p(AAAA/ABCA) = \frac{p_1*\alpha}{p_1* \alpha + p_2* \frac{1-\alpha}{2} + p_3* \frac{1-\alpha}{2}}$$Ответ: вероятность того, что при приеме последовательности символов \(ABCA\) была передана последовательность символов \(AAAA\), равна \(p(AAAA/ABCA) = \frac{p_1*\alpha}{p_1* \alpha + p_2* \frac{1-\alpha}{2} + p_3* \frac{1-\alpha}{2}}\)
