Дано: Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на оси ОХ, если расстояние между директрисами равно \frac{32}{5}, а мнимая ось равна 6
Решение:
Согласно условия задачи, фокусы лежат на оси Ox, т.е. эта ось является действительной.
каноническое уравнение гиперболы с действительной осью Ox, симметричной относительно осей имеет вид \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1 \quad (1)
Найдем действительную полуось
a и мнимую полуось
b Согласно условия задачи мнимая ось равна
2b=6 => b=3 .
Определение. Директрисами гиперболы называются две прямые, уравнения которых в канонической для гиперболы системе координат имеют вид x = \pm \frac{a}{ \epsilon}
Обозначение. Расстояние между директрисами обозначается 2d и равно
2d = \frac{2a}{ \epsilon} \quad (2)
где
\epsilon - эксцентриситет, который равен
\epsilon = \frac{c}{a} = \frac{ \sqrt{a^2+b^2}}{a} \quad (3)
Подставляем (3) в (2)
2d = \frac{2a}{ \frac{ \sqrt{a^2+b^2}}{a} } = \frac{2a^2}{ \sqrt{a^2+b^2}}
Из полученной формулы выразим значение
a - действительная полуось
2d = \frac{2a^2}{ \sqrt{a^2+b^2}} =>
Подставляем данные из условия задачи:
2d = \frac{32}{5} b = 3, получаем
\frac{32}{5} = \frac{2a^2}{ \sqrt{a^2+9}} => 16\sqrt{a^2+9} = 5a^2 =>
16^2(a^2+9) = 5^2a^4 => 5^2a^4 - 16^2a^2-16^2*9 =0
Найдем корни уравнения четвертой степени
a^2_{1,2} = \frac{16^2 \pm \sqrt{16^4+4*5^2*16^2*9}}{2*5^2} =>
a_1^2=16 \quad a_2^2 = -\frac{144}{25}
Выбираем положительный ответ
a^2 = 16 => a = 4
Подставляем полученный результаты в (1) и получаем уравнение гиперболы
\frac{x^2}{4^2} - \frac{y^2}{3^2}=1
Ответ: уравнение гиперболы
\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9}=1 
