Решение: решим линейное неоднородное уравнение второго порядка\( y"+2y'+y=-2\sin(x)+x+2\), удовлетворяющее начальному условию\(y(0)=1 y'(0)=2\)
Алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнение второго порядка
1. Решаем однородное уравнение \( y"+2y'+y = 0\)
Решение будем искать в виде \(y = e^{λx}\), тогда \(y' = λe^{λx}; \quad y'' = λ^2e^{λx}\). Подставляем функцию и ее производные в дифференциальное уравнение $$ λ^2e^{λx}+2λe^{λx} +e^{λx}= 0 =>$$ сокращаем на \(e^{λx}\), получаем характеристическое уравнение (это уравнение в следующий раз составим сразу без предыдущих пояснений)$$λ^2 +2λ+1 = 0=> (λ + 1)^2 =0$$ найдем корни характеристического уравнения $$ λ_{1,2} = -1 $$ Получили действительные корни им соответствуют два решения (учтем, что корни одинаковые) $$y_{λ1}(x) = e^{λ_1x} =e^{-x}; \quad y_{λ_2}(x) = xe^{λ_2x} = xe^{-x}$$ Таким образом, корням характеристического уравнения соответствуют два линейно независимых решения \(y_1(x) =e^{-x}\) и \(y_2(x) = xe^{-x}\).
Общее решение однородного уравнения будет линейная комбинация $$y_{одн} = C_1e^{-x}+ C_2xe^{-x}$$
2. Решаем неоднородное уравнение\(y"+2y'+y=-2\sin(x)+x+2\)
Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, ищем методом вариации произвольной переменной постоянной \(C_1=C_1(x); \quad C_2=C_2(x)\) в виде \(y_{част}(x) =C_1(x)e^{-x}+ C_2(x)xe^{-x}\quad (1)\).
Для нахождения функций \(C_1(x);C_2(x)\), подставим результаты в систему $$ \begin{cases} C'_1(x)y_1(x)+C'_2(x)y_2(x) = 0\\ C'_1(x)y'_1(x)+C'_2(x)y'_2(x) = \frac{b(x)}{a_0(x)} \end{cases}$$ Из уравнения видно, что \(b(x) =-2\sin(x)+x+2; \quad a_0(x) = 1\). Из однородного решения получаем, что \(y_1(x) =e^{-x}; \quad y_2(x) =xe^{-x}\) подставляем в систему $$ \begin{cases} C'_1(x)e^{-x}+C'_2(x)xe^{-x}= 0\\ -C_1'(x)e^{-x} +C_2'(x)(e^{-x} - xe^{-x}) =-2\sin(x)+x+2\end{cases} => $$ решаем систему уравнений$$\begin{cases} C'_1(x) = -C'_2(x)x \\ C_2'(x)xe^{-x} +C_2'(x)e^{-x} -C_2'(x)xe^{-x} =-2\sin(x)+x+2\end{cases} =>$$$$\begin{cases} C'_1(x) = -C_2'(x)x \\ C_2'(x)e^{-x} =-2\sin(x)+x+2\end{cases} =>\begin{cases} C'_1(x) = -(-2\sin(x)+x+2)e^{x}x \\ C_2'(x)= (-2\sin(x)+x+2)e^{x}\end{cases} $$Интегрируемполученные решения системы уравнений и получим искомые функции $$\begin{cases} \int C'_1(x)dx = - \int(-2\sin(x)+x+2)e^{x}xdx \\ \int C_2'(x)dx= \int (-2\sin(x)+x+2)e^{x}dx\end{cases} => $$$$\begin{cases} C_1(x) =-e^x (x^2-\cos(x)+x \cos(x)-x\sin(x)) \\ C_2(x)=e^x (1+x+\cos(x)-\sin(x)) \end{cases} $$
Подставляем результат в (1) и получаем частное неоднородное решение дифференциального уравнения
$$y_{неодн} = -(x^2-\cos(x)+x \cos(x)-x\sin(x))+ x(1+x+\cos(x)-\sin(x))=>$$$$y_{неодн} = x+\cos(x)$$
3. Получаем общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнениявида \(y_{об} = y_{одн} +y_{неодн} \)
подставляем результаты из п.1,п.2 $$y_{об} =C_1e^{-x}+ C_2xe^{-x} +x+\cos(x)$$
4. Найдем честное решение, удовлетворяющее начальному условию\(y(0)=1; y'(0)=2\)
Подставим в решение дифференциального уравнения начальное условие и найдем значение константы \(C_1;C_2\). Подставляем$$\begin{cases}y(0)_{об} =C_1e^{-0}+ C_2*0e^{-0} + 0+\cos(0) = 1\\y'(0)_{об} = -C_1e^{-0}+ C_2e^{-0} -C_2*0*e^{-0}+ 1 -\sin(0)=2\end{cases}=> $$$$\begin{cases}C_1+ 1 = 1\\-C_1 + C_2+ 1 =2\end{cases}=> \begin{cases}C_1= 0\\C_2= 1 \end{cases}$$
Ответ: решение дифференциального уравнения \(y"+2y'+y=-2\sin(x)+x+2 \) удовлетворяющее начальному условию \(y(0)=1; y'(0) = 2\) равно \(y_{об} = xe^{-x} +x+\cos(x)\)
