Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными линиями


0 Голосов
Момот Игорь В
Posted Декабрь 21, 2015 by Момот Игорь Васильевич
Категория: Дифференциальные уравнения
Bounty: 5
Всего просмотров: 9736

Вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными линиями 


D: x=y^2+1,   x+y=3 (ответ 9/2)

Все ответы


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Декабрь 21, 2015 by Вячеслав Моргун

Решение: найдем площадь фигуры, ограниченную линиями \( x=y^2+1, \quad   x+y=3 \)


Строим кривые:
В данном случае удобнее рассматривать функции как функции \(x(y)\), а при строительстве поменяем оси местами. 


1.  \( x = y^2+1 \) - парабола.
Ветви параболы направлены вверх. Парабола сдвинута вверх на 1 вдоль оси Ox.
2.  \( x+y=3 => x = 3 - y \) - уравнение прямой.


Строим рисунок:


Нужно найти площадь криволинейной фигуры \(ABC\)


площадь криволинейной фигуры, площадь фигуры ограниченная линиями


Вспомним геометрический смысл определенного интеграла: если фигура ограниченна кривыми \(y_1=g(x)\) и \(y_2=f(x)\), причем  функция \(f(x) > g(x)\), то определенный интеграл \(S = \int_a^b[f(x) - g(x)]dx\) равен площади фигуры этой фигуры.


Согласно условия задачи \(x_1 = y^2+1;  \quad x_2 = 3 - y \), тогда искомая площадь фигуры \(ABC\) равна $$S_{ABC} = \int_A^C(x_2(y) - x_1(y))dy = 
\int_A^C(3 - y - y^2  - 1)dy$$ для нахождения интеграла нужно найти координаты \(y\) точек A и C. Это точки пересечения кривых, поэтому решим систему уравнений $$\begin{cases} x = y^2+1 \\ x = 3 - y \end{cases} => \begin{cases} y_1 = 1;y_2 = -2 \\ x_1 = 2; x_2 = 5 \end{cases}  $$ Подставляем координаты \(y\) точек в интеграл $$S_{ABC} = \int_{-2}^{1}(2 - y - y^2)dy = $$  Для нахождения определенного интеграла, применим формулу Ньютона-Лейбница \(\int_a^bf(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a)\), получаем  $$ = 2y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3}|_{-2}^{1} = 2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3} - (- 4 - 2 + \frac{8}{3}) = \frac{9}{2}$$


Ответ: площадь фигуры, которая ограничена линиями \( x=y^2+1, \quad   x+y=3 \) равна \(S_{ABCD} =   \frac{9}{2}\)