Решение:
рассмотрим систему дифференциальных уравнений. которая называется системой в нормальной форме или системой, разрешенной относительно производных от неизвестных функций \(x=x(t); \quad y=(t)\) $$\begin{cases} x'=4x+2y \\ y'=4x+6y \end{cases} => \begin{cases} \frac{dx}{dt}=4x+2y \\ \frac{dy}{dt}=4x+6y \end{cases} => \quad (1)$$
рассмотрим любое из уравнений и продифференцируем его $$ \frac{d }{dt}(\frac{dx}{dt})= \frac{d}{dt}(4x+2y) => \frac{d^2x}{dt^2}= 4\frac{dx}{dt}+2\frac{dy}{dt} \quad (2)$$ Получили дифференциальное уравнение второй степени от двух функций \(x(t); y(t)\).
Из второго уравнения системы найдем \(\frac{dy}{dt}\) как функция от \(x(t)\), $$ (1) \quad \begin{cases} \frac{dx}{dt}=4x+2y \\ \frac{dy}{dt}=4x+6y \end{cases} => \begin{cases} \frac{dx}{dt}=4x+2y \\ \frac{dy}{dt} - 3\frac{dx}{dt} =4x+6y - 3(4x+2y) \end{cases} $$$$ \begin{cases} \frac{dx}{dt}=4x+2y \\ \frac{dy}{dt} =-8x + 3\frac{dx}{dt} \end{cases}$$ Подставляем \(\frac{dy}{dt}\) в (2) $$\frac{d^2x}{dt^2}= 4\frac{dx}{dt}+2\frac{dy}{dt} => $$$$ \frac{d^2x}{dt^2}= 4\frac{dx}{dt}+2(-8x + 3\frac{dx}{dt}) =>$$$$ \frac{d^2x}{dt^2} -10\frac{dx}{dt} +16x =0$$ Получили дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим и решим характеристическое уравнение: $$ \lambda^2 -10\lambda + 16 = 0 => \lambda_{1} = 2 \quad \lambda_{2} = 8$$ Следовательно \(x(t) = C_1e^{2t}+ C_2e^{8t}\). Подставляем результат в первой уравнение системы и найдем \(y(t)\) $$ x'=4x+2y => $$$$ (C_1e^{2t}+ C_2e^{8t})' = 4(C_1e^{2t}+ C_2e^{8t}) +2y => $$$$ 2C_1e^{2t}+ 8C_2e^{8t} = 4C_1e^{2t}+ 4C_2e^{8t} +2y => $$$$ y = 2C_2e^{8t} - C_1e^{2t}$$
Ответ: решения системы дифференциальных уравнение
\( x(t) = C_1e^{2t}+ C_2e^{8t}\)
\( y(t) = 2C_2e^{8t} - C_1e^{2t}\)
