Решить систему дифференциальных уравнений $$\begin{cases} x'=4x+2y \\ y'=4x+6y \end{cases}$$

Решение:
рассмотрим систему дифференциальных уравнений. которая называется системой в нормальной форме или системой, разрешенной относительно производных от неизвестных функций $x=x(t); \quad y=(t)$

$$\begin{cases} x'=4x+2y \\ y'=4x+6y \end{cases} => \begin{cases} \frac{dx}{dt}=4x+2y \\ \frac{dy}{dt}=4x+6y \end{cases} => \quad (1)$$
рассмотрим любое из уравнений и продифференцируем его $$\frac{d }{dt}(\frac{dx}{dt})= \frac{d}{dt}(4x+2y) =>  \frac{d^2x}{dt^2}= 4\frac{dx}{dt}+2\frac{dy}{dt} \quad (2)$$ Получили дифференциальное уравнение второй степени от двух функций $x(t); y(t)$.
Из второго уравнения системы найдем $\frac{dy}{dt}$ как функция от $x(t)$, $$(1) \quad \begin{cases} \frac{dx}{dt}=4x+2y \\ \frac{dy}{dt}=4x+6y \end{cases} =>  \begin{cases} \frac{dx}{dt}=4x+2y \\ \frac{dy}{dt} - 3\frac{dx}{dt} =4x+6y - 3(4x+2y) \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=4x+2y \\ \frac{dy}{dt}  =-8x + 3\frac{dx}{dt} \end{cases}$$ Подставляем $\frac{dy}{dt}$ в (2) $$\frac{d^2x}{dt^2}= 4\frac{dx}{dt}+2\frac{dy}{dt} =>$$ $$\frac{d^2x}{dt^2}= 4\frac{dx}{dt}+2(-8x + 3\frac{dx}{dt}) =>$$ $$\frac{d^2x}{dt^2} -10\frac{dx}{dt} +16x =0$$ Получили дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим и решим характеристическое уравнение: $$\lambda^2 -10\lambda + 16 = 0 => \lambda_{1} = 2 \quad  \lambda_{2} = 8$$ Следовательно $x(t) = C_1e^{2t}+ C_2e^{8t}$. Подставляем результат в первой уравнение системы и найдем $y(t)$ $$x'=4x+2y =>$$ $$(C_1e^{2t}+ C_2e^{8t})' = 4(C_1e^{2t}+ C_2e^{8t}) +2y =>$$ $$2C_1e^{2t}+ 8C_2e^{8t} = 4C_1e^{2t}+ 4C_2e^{8t} +2y =>$$ $$y = 2C_2e^{8t} - C_1e^{2t}$$
Ответ: решения системы дифференциальных уравнение 
$x(t) =  C_1e^{2t}+ C_2e^{8t}$ 
$y(t) =  2C_2e^{8t} - C_1e^{2t}$