Дано: Три стрелка стреляют поочередно в указанном порядке по одной мишени до первого попадания, но не более чем по одному разу. Вероятности попадания каждым соответственно равны 0,3; 0,4; 0,5. Случайная величина Х- количество сделанных выстрелов по мишени. Найти закон распределения и наивероятнейшее число сделанных выстрелов.
Решение: дискретная случайная величина \(X\) - номер выстрела при котором стрелок попадает в цель принимает целые значения \(X \in \text{{0,1,2,3}}\), запишем ряд распределения случайной - таблица вида:
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& 1& 2& 3 \\ \hline \\ p_i& & & & \\ \hline \end{array} $$
Обозначим как \(0\) - промах, \(1\) - попадание
тогда
\(P_i(1) = p_i\) - вероятность попадания при \(i\) - по счету выстреле,
\(P_i(0) = q_i\) - вероятность промаха при \(i\) - по счету выстреле/
Найдем вероятности случайных величин. Для этого будем применять формулу произведения.
0. Все три стрелка промахнулись, т.е. три выстрела, три промаха.
\(\{000\}\), тогда \(P(000) = P_1(0)P_2(0)P_3(0) = q_1q_2q_3\)
Согласно условия задачи, даны вероятности попадания, найдем вероятности промаха:
\(p_1 = 0.3 => q_1 = 0.7\)
\(p_2 = 0.4 => q_2 = 0.6\)
\(p_3 = 0.5 => q_3 = 0.5\)
Подставляем в формулу вероятности $$ P(000) = q_1q_2q_3 = 0.7*0.6*0.5 = 0.21 $$
1. Первый стрелок попал, стрельба идет до первого попадания.
\(\{1\}\), тогда $$P(1) = P_1(1) = p_1 = 0.3$$
2. Второй стрелок попал (первый промахнулся).
\(\{01\}\), тогда $$P(01) = P_1(0)P_2(1) = q_1p_2 = 0.7*0.4 = 0.28$$
3. Третий стрелок попал (первые два промахнулись).
\(\{001\}\), тогда $$P(001) = P_1(0)P_2(0)P_3(1) = q_1q_2p_3 = 0.7*0.6*0.5 = 0.21$$
Проверяем результат: так как все события \(X = \text{{0,1,2,3}}\) (попади в мишень при первом выстреле, втором, третьем или промахнулись) образуют полную группу событий, то сумма вероятностей должна быть равна 1, т.е. \( P(000) + P(1) + P(01) + P(001) = 0.21+ 0.3 + 0.28 + 0.21 = 1 \) расчеты проведены правильно, заполняем таблицу
Построим закон распределения дискретной случайной величины \(X\).
$$ \begin{array}{|c|c|c|}\hline x_i& 0& 1& 2& 3 \\ \hline \\ p_i& 0.21 & 0.3 & 0.28 & 0.21 \\ \hline \end{array} $$
Получили искомый ряд распределения дискретной случайной величины.
