Решение: рассмотрим дифференциальное уравнение $$ (x^2-1)y'-xy=x^3-x, \quad y(\sqrt{2})=1 $$ это неоднородное линейное уравнение первого порядка, решать которое будем методом вариации независимой переменной.
Алгоритм решения неоднородного линейного уравнения первого порядка.
Предварительно преобразуем линейое неоднородное дифференциальное уравнение к виду \(y'+p(x)y=q(x)\). получаем$$ (x^2-1)y'-xy=x^3-x => y' - \frac{xy}{x^2-1} = \frac{x^3-x}{x^2-1} =>$$$$ y' - \frac{xy}{x^2-1} = x \quad (1)$$
1. Решаем однородное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
$$ y' - \frac{xy}{x^2-1} = 0 => \frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2-1} => $$$$ \frac{dy}{y} = \frac{x}{x^2-1}dx$$ проинтегрируем обе части уравнения $$ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{x}{x^2-1}dx => $$$$ \ln(y) = \frac{1}{2}\ln(x^2-1)+\ln(C) => y = \sqrt{x^2-1}C \quad (2)$$
2. Представляем \(C = C(x)\).
Подставляем решение в дифференциальное уравнение и находим \(C(x)\)
находим производную $$y' = ( \sqrt{x^2-1}C(x))' = \frac{x}{ \sqrt{x^2-1}}C(x) + \sqrt{x^2-1}C'(x)$$ подставляем в дифференциальное уравнение (1) $$ \frac{x}{ \sqrt{x^2-1}}C(x) + \sqrt{x^2-1}C'(x) - \frac{x\sqrt{x^2-1}C(x)}{x^2-1} = x => $$ обращаю, что при правильной подстановке члены с функцией C(x) должны сократиться $$ \sqrt{x^2-1}C'(x) = x => C'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} => $$ интегрируем обе части дифференциального уравнения $$ \int dC'(x) = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx => $$$$ C(x) = \sqrt{x^2-1} +C_1$$
3. Получаем общее решение дифференциального уравнения, подставляем в (1)
$$ y = \sqrt{x^2-1}C(x) = \sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1} +C_1)=> $$$$ y = C_1\sqrt{x^2-1} +x^2-1$$
4. Найдем честное решение, удовлетворяющее начальному условию \(y(\sqrt{2})=1\)
Подставим в решение дифференциального уравнения начальное условие и найдем значение константы \(C_1\). Подставляем $$ y(\sqrt{2}) = C_1\sqrt{(\sqrt{2})^2-1} +(\sqrt{2})^2-1 = 1 =>$$$$ C_1*1 +1 = 1 => C_1=0$$
Ответ: решение дифференциального уравнения \((x^2-1)y'-xy=x^3-x\) удовлетворяющее начальному условию \(y(\sqrt{2})=1\) равно \( y = x^2-1\)
