Дано вершини трикутника ABC A(5;-2), В(8;4), С(2;11)
Знайти:
1) рівняння сторони ВС;
Рівняння сторони будемо шукати за допомогою формули рівняння прямої, що проходить через дві задані точки \( \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \quad (1) \) Підставляємо координати вершин:
рівняння сторони \( BC \), при відомих координатах вершини \( В(8;4), С(2;11)\) $$ BC \quad \frac{x-8}{2-+8} = \frac{y-4}{11-4} => y = -\frac{7}{6}x +\frac{40}{3}$$
Відповідь: рівняння сторони \(BC\): \( y = -\frac{7}{6}x +\frac{40}{3} \quad (2)\)
2) рівняння висоти AH;
Висота AH опущена з вершини B на сторону AC, тобто з умови відома одна координата точки A (5; -2) і напрям - пряма перпендикулярна прямий BC.
Скористаємося властивістю кутових коефіцієнтів перпендикулярних прямих: \(k_1 = - \frac{1}{k_2} \).
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої сторони BC з рівняння (2).
Отримали \(k_{BC} = - \frac{7}{6} => \) \(k_{AH} = - \frac{1}{AC} = \frac{6}{7} \). Знайдемо рівняння прямої BD, для цього скористаємося рівнянням прямої що проходить через задану точку A (5; -2) в заданому напрямку \(k_{AH} = \frac{6}{7} \) $$ y - y_0 = k (x - x_0) \quad (3) $$ отримаємо $$ y + 2 = \frac{6}{7} (x - 5) => y = \frac{6}{7} x- \frac{44}{ 7} $$
Відповідь: рівняння висоти AH \( y = \frac{6}{7}x- \frac{44}{7} \)
3) рівняння медіани BM
Для знаходження медіани BM є координата однієї точки В(8; 4), а координати другої точки прямий M знайдемо як координати середини відрізка \(AC \), де A(5; -2), С(2; 11) за формулою \(M(\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}) \) => \(M(\frac{5 + 2}{2}; \frac{-2+ 11}{2}) \) => \(M(3.5; 4.5) \)
Знаходимо рівняння прямої \(BM \) за формулою рівняння прямої, що проходить через дві задані точки \(В(8; 4) \) і \(M(3.5; 4.5) \) рівняння (1) $$ \frac{x- 8}{\frac{7}{2} -8} = \frac{y-4}{\frac{9}{2} -4} => y = - \frac{1}{9} x + \frac{44}{9} $$
Відповідь: рівняння медіани BM \( y = -\frac{1}{9}x + \frac{44}{9}\)
4) координати точки D перетину медіани BM і висоти AH
Знайдемо координати точки перетину медіани BM і висоти AH, для цього складаємо систему рівнянь у складі двох рівнянь прямих, вирішуємо його і знаходимо координати точки перетину прямих
$$ \begin{cases} y = -\frac{1}{9}x + \frac{44}{9} \\ y = \frac{6}{7}x- \frac{44}{7} \end{cases} = > \begin{cases} x \approx 11.5 \\ y \approx 3.6 \end{cases} $$
Відповідь: координати точки \( D(11.5;3.6)\)
5) рівняння прямої, яка проходить через вершину A паралельно стороні BC
Пряма проходить точку \(A (5; -2) \) при відомому напрямку - пряма паралельна прямій BC \(y = - \frac{7}{6} x + \frac{40}{3} \).
Скористаємося властивістю кутових коефіцієнтів паралельних прямих: \(k_1 = k_2 \).
Знайдемо кутовий коефіцієнт \(k_1 \) при \(k_1 = k_2 = k_{BC} = - \frac{7}{6} \).
Знайдемо рівняння прямої BC, для цього скористаємося рівнянням прямої проходить через задану точку в заданому напрямку (3), отримаємо $$ y + 2 = - \frac{7}{6} (x - 5) => y = - \frac{1}{4} x - \frac{9}{2} $$
Відповідь: рівняння прямої, що проходить через точку A і паралельна прямій боку BC \(y = - \frac{7}{6} x + \frac{23}{6} \)
6) відстань від точки A до прямої BC.
Відстань від точки A до прямої BC будемо шукати як відстань від точки A до прямої BC за формулою $$ d = \frac{| Ax_0 + By_0 + C |}{\sqrt{A ^ 2 + B ^ 2}} \quad(4) $$ де \((x_0; y_0) \) - координати точки A(5; -2), а
\(Ax_0 + By_0 + C = 0 \) - загальне рівняння прямої, відстань до якої шукається
$$ y = - \frac{7}{6} x + \frac{40}{3} => 7x + 6y - 80 = 0 => A = 7; \quad B = 6 $$ Підставляємо дані у формулу $$ d_{AH} = \frac{| 7 * 5 - 6 * 2 - 80 |}{\sqrt{7 ^ 2 + 6 ^ 2}} \approx 6.2 $$
Відповідь: відстань від точки A до прямої BC \(d_{AH} \approx 6.2 \)
